通俗易懂讲解“二叉树的最大路径和”算法题目
一、题目是啥？一句话说清
在二叉树中找一条路径（任意节点序列，每个节点最多有一个父节点和一个子节点），使得路径上所有节点的值之和最大，这条路径不一定经过根节点，但至少包含一个节点。
示例：
- 输入：二叉树，节点值可能为负
- 输出：最大路径和，例如在二叉树
[-10,9,20,null,null,15,7]中，最大路径和是 42（路径 15 → 20 → 7）
二、解题核心
使用递归方法，从叶子节点开始向上计算每个节点能提供的最大贡献值，同时在每个节点处计算以该节点为顶点的路径和，并更新全局最大路径和。 这就像每个节点向父节点报告“我能为你提供的最大价值是多少”，而父节点则结合左右孩子的报告计算“如果路径以我为中心，总和能有多大”。
三、关键在哪里？（3个核心点）
想理解并解决这道题，必须抓住以下三个关键点：
1. 递归计算节点贡献值
- 是什么：对于每个节点，递归计算以该节点为起点的最大路径和（即从该节点向下延伸的路径，只能选择左或右一条分支）。
- 为什么重要：这提供了节点对父节点的贡献值，帮助父节点计算更长的路径。
2. 更新全局最大路径和
- 是什么：在每个节点处，计算以该节点为顶点的路径和（即节点值 + 左子树贡献 + 右子树贡献），并用此更新全局最大值。
- 为什么重要：最大路径和可能出现在任何节点为顶点的路径上，而不一定是根节点。
3. 处理负值贡献
- 是什么：如果子树的贡献值为负，则选择不包含该子树（即贡献值取0），因为负贡献会减少总和。
- 为什么重要：这确保了路径和不会被负值拖累，从而找到真正的最大值。
四、看图理解流程（通俗理解版本）
让我们用二叉树 [-10,9,20,null,null,15,7] 为例来可视化过程：
-
从叶子节点开始：
- 节点15：左贡献=0，右贡献=0，以15为顶点的路径和=15。报告给父节点的贡献值=max(15,0)=15。
- 节点7：左贡献=0，右贡献=0，以7为顶点的路径和=7。报告贡献值=max(7,0)=7。
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处理节点20：
- 左贡献=15（来自左子树15），右贡献=7（来自右子树7）。
- 以20为顶点的路径和=20 + 15 + 7 = 42（这是全局最大路径和）。
- 报告给父节点的贡献值=20 + max(15,7) = 20 + 15 = 35（因为只能选一条分支）。
-
处理节点9：
- 左贡献=0，右贡献=0（因为无子树），以9为顶点的路径和=9。
- 报告贡献值=max(9,0)=9。
-
处理根节点-10：
- 左贡献=9（来自左子树9），右贡献=35（来自右子树20）。
- 以-10为顶点的路径和=-10 + 9 + 35 = 34，但34 < 42，所以全局最大值仍是42。
- 报告贡献值=-10 + max(9,35) = -10 + 35 = 25（但25>0，所以报告25？不，实际上如果贡献为负，应该返回0，但这里25是正数）。
注意：在计算贡献值时，如果贡献为负，我们返回0，表示不包含该分支。所以根节点-10的贡献值应该是 max(-10 + max(9,35), 0) = max(25,0)=25？但根据算法，我们直接计算节点值加左右贡献的较大值，但如果结果为负，则返回0。
实际上，在递归函数中，我们计算节点的贡献值时，如果左或右贡献为负，我们就不取（即取0），所以对于根节点-10，贡献值 = -10 + max(左贡献,0) + max(右贡献,0)？不对，递归函数返回的是从该节点向下延伸的最大路径和（只能选一条分支），所以对于根节点，贡献值 = -10 + max( max(左贡献,0), max(右贡献,0) )？但左贡献是9（正），右贡献是35（正），所以贡献值 = -10 + max(9,35) = 25？但25是正数，所以返回25。
但在更新全局最大值时，我们计算以节点为顶点的路径和：节点值 + max(左贡献,0) + max(右贡献,0)。对于根节点，就是 -10 + 9 + 35 = 34。
最终全局最大值是42，来自节点20。
五、C++ 代码实现（附详细注释）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 二叉树节点定义
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
};
class Solution {
public:
int maxPathSum(TreeNode* root) {
int maxSum = INT_MIN; // 初始化全局最大路径和为最小整数
maxGain(root, maxSum);
return maxSum;
}
private:
int maxGain(TreeNode* node, int& maxSum) {
if (node == nullptr) return 0; // 空节点贡献值为0
// 递归计算左右子树的贡献值，如果贡献值为负，则取0（表示不包含该子树）
int leftGain = max(maxGain(node->left, maxSum), 0);
int rightGain = max(maxGain(node->right, maxSum), 0);
// 计算以当前节点为顶点的路径和（可能包含左右子树）
int priceNewPath = node->val + leftGain + rightGain;
// 更新全局最大路径和
maxSum = max(maxSum, priceNewPath);
// 返回当前节点的最大贡献值（只能选择左或右一条分支）
return node->val + max(leftGain, rightGain);
}
};
// 测试代码
int main() {
// 构建示例二叉树: [-10,9,20,null,null,15,7]
TreeNode* left = new TreeNode(9);
TreeNode* right_left = new TreeNode(15);
TreeNode* right_right = new TreeNode(7);
TreeNode* right = new TreeNode(20, right_left, right_right);
TreeNode* root = new TreeNode(-10, left, right);
Solution solution;
int result = solution.maxPathSum(root);
cout << "最大路径和: " << result << endl; // 输出42
// 释放内存（实际面试中可能不需要）
delete right_left;
delete right_right;
delete right;
delete left;
delete root;
return 0;
}
六、注意事项
- 初始化全局最大值为INT_MIN：因为节点值可能为负，所以不能初始化为0。
- 空节点处理：递归基返回0，表示空节点没有贡献。
- 贡献值取非负：在计算左右贡献值时，如果为负则取0，避免负贡献减少总和。
- 路径和计算：在以节点为顶点的路径和中，我们允许包含左右子树，因为路径可以穿过该节点向两边延伸。
- 返回值：递归函数返回的是从该节点向下延伸的最大路径和（只能选一条分支），用于父节点计算。
七、总结
理解此题的关键在于：
- 递归计算贡献值：每个节点报告它能提供的最大价值（只能选一条分支）。
- 更新全局最大值：在每个节点处计算以该节点为顶点的完整路径和（可包含左右分支）。
- 处理负值：负贡献被忽略（取0），以确保路径和最大化。
掌握这三点，你就能高效解决二叉树的最大路径和问题。这道题是二叉树递归的经典应用，考察了对递归和路径的理解。多练习几次，注意递归的细节，就能熟练运用。
