【算法】算法题核心类别与通用解题思路

沐怡旸
180 阅读7分钟

以下系统地汇总了算法题的主要类别，并为每一类提供了通用的解题思路和技巧。

算法题核心类别与通用解题思路

算法题虽然千变万化，但绝大多数都可以归入以下几类。掌握每一类的“解题模板”和核心思想，就能做到举一反三。

1. 数据结构类 (Data Structures)

这类问题直接考察对基础数据结构的应用和理解。

  • 数组 & 字符串 (Array & String)

    • 核心思想： 在连续内存空间上进行操作。常用技巧是使用指针（下标）来遍历或标记位置。
    • 通用思路：
      • 双指针 (Two Pointers)： 解决有序数组、去重、合并、滑动窗口等问题。
        • 对撞指针： 一前一后向中间遍历，用于“两数之和”、“反转字符串”等。
        • 快慢指针： 一快一慢，用于“判断循环”、“找中点”、“删除元素”等。
      • 滑动窗口 (Sliding Window)： 解决子串/子数组问题（如“找和为K的最短子数组”、“最长无重复字符子串”）。
        • 模板： 用 left 和 right 指针维护一个窗口，right 向右扩张，left 根据条件向右收缩，并在此过程中更新答案。
      • 前缀和 (Prefix Sum)： 快速求解任意区间和。
        • 模板： 预处理一个 prefix[i] 数组，存储 nums[0] 到 nums[i-1] 的和，则区间 [i, j] 的和为 prefix[j+1] - prefix[i]。

  • 链表 (Linked List)

    • 核心思想： 指针操作是核心。注意处理头节点和边界条件（空链表、单节点链表）。
    • 通用思路：
      • 虚拟头节点 (Dummy Node)： 在任何可能修改头节点的操作前，创建一个 dummy 节点指向 head，可以简化代码，避免空指针和复杂判断。
      • 双指针：
        • 快慢指针： 找链表中点、判断环路、找倒数第K个节点。
        • 多指针操作： 在“反转链表”、“K个一组反转链表”中，需要精确控制 prev, curr, next 等指针的指向。

  • 栈 & 队列 (Stack & Queue)

    • 核心思想： 栈（LIFO）用于处理对称性、递归性问题；队列（FIFO）用于处理顺序性、BFS问题。
    • 通用思路：
      • 单调栈 (Monotonic Stack)： 解决“下一个更大元素”、“柱状图中最大矩形”等问题。
        • 模板： 遍历数组，维护一个栈（从栈底到栈顶单调递增或递减）。当新元素不满足单调性时，弹出栈顶元素并进行计算，直到满足条件再入栈。
      • 优先队列 (堆, Priority Queue)： 解决“Top K”、“中位数”、“调度”问题。C++中可用 std::priority_queue。

  • 哈希表 (Hash Table)

    • 核心思想： 用空间换时间，实现O(1)时间的查找和插入。C++中可用 std::unordered_map / std::unordered_set。
    • 通用思路：
      • 快速查找： 用于“两数之和”、“判断重复”等需要快速查询元素是否存在的场景。
      • 频率统计： 用于“统计字母频率”、“找出现次数最多的元素”等。

  • 树 (Tree)

    • 核心思想： 递归是处理树问题最自然的方式。几乎所有问题都可以用DFS（深度优先搜索）解决。
    • 通用思路：
      • DFS (递归)： 前序、中序、后序遍历，解决“路径和”、“深度”、“属性判断”等问题。
      • BFS (层序遍历)： 使用队列，解决“层序遍历”、“找最短路径（在树中）”等问题。
      • 二叉搜索树 (BST)： 利用中序遍历有序和左<根<右的性质进行高效查找、验证和范围查询。

  • 图 (Graph)

    • 核心思想： 图是树的泛化，算法也更复杂。核心是遍历（DFS/BFS）和拓扑排序。
    • 通用思路：
      • 表示方法： 邻接表（常用，vector<vector> 或 unordered_map<int, vector>）或邻接矩阵。
      • DFS/BFS遍历： 是解决几乎所有图问题的基础（如“连通块”、“最短路径”）。
      • 拓扑排序 (Topological Sort)： 用于有向无环图（DAG）的任务调度、依赖分析。可用BFS（Kahn算法，计算入度）或DFS实现。
      • 并查集 (Union-Find)： 高效解决“动态连通性”问题（如“朋友圈”、“岛屿数量”的变种）。

2. 算法策略类 (Algorithmic Paradigms)

这类是解决问题的宏观方法和思想，是面试中的重中之重。

  • 递归 & 回溯 (Recursion & Backtracking)

    • 核心思想： 通过函数自我调用，尝试所有可能的解，如果当前路径不行就“撤销选择，回溯到上一步”。
    • 通用思路：
      • 模板： 解决“全排列”、“组合”、“N皇后”等问题。
        1. 做出选择 (Make choice)
        2. 递归 (Recurse)
        3. 撤销选择 (Undo choice) // 回溯的核心
      • 剪枝 (Pruning)： 在递归过程中提前判断当前路径不可能得到正确结果，直接返回，极大提升效率。

  • 分治 (Divide and Conquer)

    • 核心思想： 将大问题分解成小问题，解决小问题，再合并结果。“归并排序”和“快速排序”是经典例子。
    • 通用思路：
      • 模板：
        1. 分解 (Divide)： 将原问题分解成子问题。
        2. ​解决 (Conquer)： 递归地解决子问题。
        3. ​合并 (Combine)： 将子问题的结果合并成原问题的解。
      • 应用： “合并K个排序链表”、“计算逆序对”。

  • 动态规划 (Dynamic Programming)

    • 核心思想： 用空间存储子问题的解，避免重复计算。解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
    • 通用思路 (四步法)：
      1. 定义状态 (dp数组的含义)： 比如 dp[i] 或 dp[i][j] 代表什么。
      2. 确定状态转移方程： 这是最关键的一步，找出 dp[i] 和之前状态（如 dp[i-1], dp[i-2]）的关系。
      3. 初始化： 初始化 dp 数组的初始值，作为递推的基础。
      4. 确定遍历顺序： 按什么顺序填充 dp 数组（自顶向下记忆化搜索 or 自底向上迭代）。
    • 常见类型： 背包问题、序列问题（最长递增子序列LIS）、字符串编辑距离、股票买卖问题。

  • 贪心算法 (Greedy)

    • 核心思想： 每一步都做出当前看来最优的选择，希望导致全局最优。不像DP那样有固定的公式，需要证明其正确性。
    • 通用思路： 通常需要对数据进行排序预处理。
    • 应用： “区间调度”、“分发饼干”、“跳跃游戏”。

  • 二分查找 (Binary Search)

    • 核心思想： 在有序集合中，通过比较中间元素快速将搜索范围减半。
    • 通用思路：
      • 模板： 记住一个清晰的循环不变量（例如，left 和 right 定义的搜索区间是 [left, right]），就能避免边界错误。
      • 应用： 不仅用于找值，更用于“寻找旋转排序数组中的最小值”、“在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置”等边界问题。

学习建议 (以下部分是基于C++开发栈)

  1. 从核心数据结构开始： 即使很熟悉，也请用刷题的视角重新审视它们。用C++的STL（vector, list, unordered_map, priority_queue等）去实现，这能极大提升编码效率。
  2. 按类别刷题： 不要随机刷题。在一到两周内，集中刷某一类别（如“动态规划”），总结这类问题的共通点和模板。
  3. 先思考，再编码： 看到题目，先花5-10分钟分析：
    • 属于哪一类问题？
    • 有哪些可能的解法？时间/空间复杂度各是多少？
    • 哪种是最优解？
  4. 重视代码质量：
    • 边界条件： 空输入、单个元素、负数等。
    • 代码风格： 变量名清晰、函数功能单一、添加关键注释。
    • 复杂度分析： 能清晰地说出自己算法的时间和空间复杂度。
  5. 使用C++的优势：
    • STL是利器： 熟练使用 algorithm 头文件中的 sort, lower_bound, max 等函数。
    • 智能指针/引用： 在复杂数据结构问题中，如果可以，提及如何使用它们来管理内存或避免拷贝，体现您的工程能力。
  6. 经典题库： LeetCode 是首选。可以从它的“学习计划”（如“算法面试题汇总”）或者“热门100题”开始，这些都是经过市场检验的高频考题。

最后，也是最重要的：总结和复盘。 准备一个笔记本（或电子文档），为每一类算法画出思维导图，记录经典例题和你的解题模板。定期回顾，内化成自己的知识体系。

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