【一看就会一写就废 指间算法】零钱兑换 —— 动态规划

指尖划过的轨迹，藏着最细腻的答案~

题目：

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= $2^{31}$ - 1
0 <= amount <= $10^4$

分析：

这是一道背包问题，由于物品可以无限制使用，即完全背包问题； 动态规划一般分为3步走：

• 确定dp数组含义： 设 dp[i][j] 表示使用硬币i兑换总额为j的最少的硬币数。
• 状态转移方程： 对于每个硬币i我们可以选择使用或者选择不使用，即选或不选，我们可以得到如下状态转移方程：
  • 不选：$dp[i][j] = dp[i-1][j]$;
  • 选：$dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1)$;
• 初始化： dp[0][0] = 0;

AC代码：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        vector f(n + 1, vector<int>(amount + 1, INT_MAX / 2));
        f[0][0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int c = 0; c <= amount; c++) {
                if (c < coins[i]) {
                    f[i+1][c] = f[i][c];
                } else {
                    f[i+1][c] = min(f[i][c], f[i+1][c - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }

        int ans = f[n][amount];
        return ans < INT_MAX / 2 ? ans : -1;
    }
};

空间复杂度优化算法：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        vector f(amount + 1, INT_MAX / 2);
        f[0] = 0;
        for (int x : coins) {
            for (int c = x; c <= amount; c++) {
                f[c] = min(f[c], f[c - x] + 1);
            }
        }

        int ans = f[amount];
        return ans < INT_MAX / 2 ? ans : -1;
    }
};