绝对值不等式

一、基础不等式

设 $a > 0$。

1. $|x| \leq a$

   $-a \leq x \leq a$

   几何意义：数轴上点 $x$ 到原点的距离不大于 $a$。

2. $|x| \geq a$

   $x \leq -a \quad \text{或} \quad x \geq a$

   几何意义：数轴上点 $x$ 到原点的距离不小于 $a$。

二、一般形式

设 $a > 0$，$f(x)$ 是任意表达式。

1. $|f(x)| \leq a$

   $-a \leq f(x) \leq a$

2. $|f(x)| \geq a$

   $f(x) \leq -a \quad \text{或} \quad f(x) \geq a$

三、三角不等式及其推广

对于任意实数 $a$, $b$。

1. 三角不等式

   $|a + b| \leq |a| + |b|$

   等号成立当且仅当 $ab \geq 0$。

2. 反向三角不等式

   $|a| - |b| \leq |a + b|$

   $\big| |a| - |b| \big| \leq |a - b|$

四、重要性质

1. 非负性

   $|a| \geq 0$

   且 $|a| = 0$ 的充要条件是 $a = 0$。

2. 积的绝对值

   $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$

3. 商的绝对值

   $\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0)$

4. 与平方的关系

   $|a|^2 = a^2$

   $|a| = \sqrt{a^2}$

五、特殊情况 ($k$ 为常数)

1. 当 $k < 0$ 时

   • $|f(x)| \leq k$ 的解集为 $\varnothing$ (空集)。

   • $|f(x)| \geq k$ 的解集为 $\mathbb{R}$ (全体实数)。

2. 当 $k = 0$ 时

   • $|f(x)| \leq 0$ 的解集为 $f(x) = 0$。

   • $|f(x)| \geq 0$ 的解集为 $\mathbb{R}$。