分式有理化分式有理化的核心目的是消除分母中的无理数（如根式）或虚数单位 $i$，将其转化为一个有理数或实数，以便于简化表

分式有理化的核心目的是消除分母中的无理数（如根式）或虚数单位 $i$ ，将其转化为一个有理数或实数，以便于简化表达式和后续计算。

形式： $\frac{a}{\sqrt{b}}$

方法：分子分母同乘以 $\sqrt{b}$ 。公式：

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

示例：有理化 $\frac{3}{\sqrt{5}}$

\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

形式： $\frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$

方法：利用平方差公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ ，分子分母同乘以分母的共轭式。

公式：

\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}

\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}

示例：有理化 $\frac{2}{1 + \sqrt{3}}$

\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{-2} = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1

形式： $\frac{a}{\sqrt[n]{b}}$

方法：分子分母同乘以 $\sqrt[n]{b^{n-1}}$ ，使得分母变为 $b$ 。 通用公式：

\frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot \frac{\sqrt[n]{b^{n-1}}}{\sqrt[n]{b^{n-1}}} = \frac{a \cdot \sqrt[n]{b^{n-1}}}{b}

示例：有理化 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}

形式： $\frac{1}{a + bi}$ ，其中 $i^2 = -1$

方法：分子分母同乘以分母的共轭复数 $a - bi$ 。公式：

\frac{1}{a + bi} = \frac{1}{a + bi} \cdot \frac{a - bi}{a - bi} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}

示例：有理化 $\frac{1}{2 + 3i}$

\frac{1}{2 + 3i} = \frac{1}{2 + 3i} \cdot \frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{2 - 3i}{2^2 + 3^2} = \frac{2 - 3i}{4 + 9} = \frac{2 - 3i}{13}

分式有理化的一般步骤是：

其主要目的在于简化计算、求极限或积分，以及将表达式转为标准形式。