三角函数与反三角函数的定义域

三角函数 (Trigonometric Functions)

函数	表示	定义域	值域 (Range)
正弦	$\sin x$	$\{ x \in \mathbb{R} \}$	$[-1, 1]$
余弦	$\cos x$	$\{ x \in \mathbb{R} \}$	$[-1, 1]$
正切	$\tan x$	$\{ x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \}$	$(-\infty, +\infty)$
余切	$\cot x$	$\{ x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \}$	$(-\infty, +\infty)$
正割	$\sec x$	$\{ x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \}$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
余割	$\csc x$	$\{ x \mid x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \}$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

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反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)

函数	表示	定义域	值域 (Range)
反正弦	$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
反余弦	$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
反正切	$\arctan x$	$(-\infty, +\infty)$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
反余切	$\text{arccot } x$	$(-\infty, +\infty)$	$(0, \pi)$
反正割	$\text{arcsec } x$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$	$[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$
反余割	$\text{arccsc } x$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$	$[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$

总结说明：

• 三角函数的定义域限制了哪些角度输入是有效的。
• 反三角函数的定义域直接对应其原三角函数的值域，以确保反函数的存在。
• 反三角函数的值域（通常称为主值分支）是为了保证每个输入只对应唯一的输出。