极限的核心结论与公式

一、基础重要极限

1. 三角函数型

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

   一般形式：

   $$\lim_{\Box \to 0} \frac{\sin \Box}{\Box} = 1$$

2. 自然常数 e 型

   $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

   一般形式：

   $$\lim_{\Box \to 0} (1 + \Box)^{\frac{1}{\Box}} = e$$

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二、衍生重要极限

这两个极限由基础极限推导而出，同样至关重要。

1. 自然对数型

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$

   一般形式：

   $$\lim_{\Box \to 0} \frac{\ln(1 + \Box)}{\Box} = 1$$

2. 指数函数型

   $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

   一般形式：

   $$\lim_{\Box \to 0} \frac{e^{\Box} - 1}{\Box} = 1$$

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三、处理“$1^\infty$”型未定式的普适公式

这是解决所有幂指函数极限的核心方法。 若 $\lim f(x) = 1$， $\lim g(x) = \infty$，则：

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四、常用等价无穷小替换（$x \to 0$ 时）

在求“$\frac{0}{0}$”型极限时，乘除因子可直接替换。

原函数	等价于
$\sin x$	$x$
$\tan x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\arctan x$	$x$
$1 - \cos x$	$\dfrac{1}{2}x^2$
$e^x - 1$	$x$
$\ln(1 + x)$	$x$
$(1 + x)^a - 1$	$ax$

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五、无穷极限的比较（$x \to +\infty$ 时）

这些公式描述了不同函数趋向无穷大的“速度”。

1. 指数函数 >> 幂函数

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = 0 \quad (a > 1, n > 0)$$
   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$

2. 幂函数 >> 对数函数

   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^n}{x^b} = 0 \quad (b > 0, n > 0)$$
   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^b}{e^x} = 0$$

增长阶排序（从慢到快）： 常数 < $(\ln x)^n$ < $x^b$ < $a^x$

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总结表

类型	核心公式	应用场景
基础极限	$\lim_{\Box \to 0} \frac{\sin \Box}{\Box} = 1$, $\lim_{\Box \to 0} (1 + \Box)^{\frac{1}{\Box}} = e$	推导之源，特定结构
衍生极限	$\lim_{\Box \to 0} \frac{\ln(1 + \Box)}{\Box} = 1$, $\lim_{\Box \to 0} \frac{e^{\Box} - 1}{\Box} = 1$	处理对数/指数型“$\frac{0}{0}$”
$1^\infty$型	$\lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim g(x) \cdot (f(x)-1)}$	所有幂指函数极限
等价替换	$\sin x \sim x$, $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$, ...	快速简化“$\frac{0}{0}$”型乘除运算
增长比较	$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$	比较无穷大的阶，判断收敛/发散

这份公式汇总是解决极限问题的强大工具箱，建议熟练掌握其推导和应用条件。