一、二叉树基础：从定义到特殊类型
平衡树基于二叉树衍生，面试中常先考察基础概念 —— 需先掌握二叉树的定义、性质及特殊类型（满二叉树、完全二叉树）。
1. 二叉树的核心定义
二叉树是「每个节点最多有两个子节点」的树结构，子节点分左子树（Left）和右子树（Right），可递归定义为：
- 空树，或
- 由根节点、左二叉树、右二叉树组成（左 / 右子树也需满足二叉树定义）。
可视化：普通二叉树结构
2. 二叉树的 3 个高频性质（面试必背）
- 第 i 层最大节点数：若根为第 1 层，第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点（如第 3 层最多 4 个）；
- 高度 h 的最大节点数：总节点数最多为 2^h - 1（满二叉树即达到此上限）；
- 叶子节点与度 2 节点关系：对任意非空二叉树，度为 0 的叶子节点数 n0 = 度为 2 的节点数 n2 + 1（推导：总边数 = 总节点数 - 1，且边数 = 2n2 +n1，联立得 n0=n2+1）。
3. 特殊类型：满二叉树（面试高频）
（1）满二叉树的定义
满二叉树是「除叶子节点外，所有节点均有两个子节点」的二叉树，且所有叶子节点在同一层。
可视化：满二叉树结构（高度 h=3）
（2）满二叉树的 2 个关键公式（面试计算题常考）
- 若高度为 h，总节点数 n = 2^h - 1 → 反推高度 h = log2(n+1)；
- 叶子节点数 n0 = 2^(h-1)（如 h=3 时，叶子数 = 4）。
（3）满二叉树 vs 完全二叉树（易混点辨析）
完全二叉树是「按层序填充，最后一层从左到右连续，中间不缺节点」的二叉树（可理解为 “满二叉树的前缀”），二者区别：
| 类型 | 核心区别 | 示例特征 |
|---|---|---|
| 满二叉树 | 所有层均填满，叶子在同一层 | 高度 3 时必 7 个节点 |
| 完全二叉树 | 最后一层左连续，上层均填满 | 高度 3 时可 5/6/7 个节点 |
可视化：完全二叉树（非满）
二、为什么需要平衡树？—— 从 BST 的问题说起
二叉搜索树（BST）是基于二叉树的有序结构，核心性质：左子树值＜根＜右子树值，中序遍历为有序序列。但BST 存在致命缺陷 —— 易退化：
- 当插入有序数据（如 1→2→3→4→5）时，BST 会退化为链表，此时查询 / 插入 / 删除时间复杂度从 O (logn) 暴跌至 O (n)。
可视化：BST 退化案例
平衡树的本质：在 BST 基础上增加「平衡约束」，通过自调整（旋转、颜色翻转等）维持树高为 O (logn)，确保操作性能稳定。
三、面试高频平衡树 1：AVL 树（严格平衡）
AVL 树是最早的自平衡 BST，核心是「严格平衡约束」：
- 每个节点的平衡因子（左子树高 - 右子树高）∈ {-1,0,1}
- 树高严格控制在 O (logn)，查找性能最优
AVL 树面试考点
- 优点：查找快（树高最矮）；缺点：插入 / 删除需多次旋转（维护严格平衡成本高）。
- 应用场景：读多写少场景（如静态索引）。
- 代码高频片段：平衡因子计算与旋转触发：
// 计算节点高度
private int getHeight(Node node) {
return node == null ? 0 : node.height;
}
// 计算平衡因子
private int getBalance(Node node) {
return node == null ? 0 : getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 右旋实现（LL型处理）
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T2 = x.right;
// 旋转
x.right = y;
y.left = T2;
// 更新高度
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x; // 新根
}
四、面试高频平衡树 2：红黑树（近似平衡）
红黑树是工程中最常用的平衡树（如 Java TreeMap、Linux 内核），核心是「通过颜色规则维持近似平衡」，而非严格平衡因子。
1. 红黑树 5 条核心性质（面试必背）
- 每个节点非红即黑；
- 根节点是黑色；
- 叶子节点（NIL 空节点）是黑色；
- 红色节点的两个子节点必为黑色（无连续红节点）；
- 从任意节点到其所有叶子的路径，黑色节点数相同（「黑高」一致）。
2. 红黑树 vs AVL 树（面试高频对比）
| 维度 | AVL 树 | 红黑树 |
|---|---|---|
| 平衡程度 | 严格（平衡因子 ±1） | 近似（黑高一致） |
| 树高 | 更矮（~1.44logn） | 略高（~2logn） |
| 查找性能 | 略优 | 优秀（差距可忽略） |
| 插入 / 删除成本 | 高（需多次旋转） | 低（1-2 次旋转 + 颜色翻转） |
| 工程应用 | 读多写少场景 | 通用场景（默认首选） |
五、其他平衡树（面试速记）
1. 伸展树（Splay Tree）
- 核心：无平衡约束，通过「伸展操作」将最近访问节点移到根（利用局部性原理）。
- 特点：均摊复杂度 O (logn)，但最坏 O (n)；实现简单（无需维护平衡因子 / 颜色）。
- 应用：缓存系统（频繁访问的节点更快获取）。
2. 替罪羊树（Scapegoat Tree）
- 核心：当子树大小超过父节点的 α 倍（α≈0.7），直接「重构子树」为完全平衡树（暴力但高效）。
- 特点：插入 / 删除均摊 O (logn)，实现比红黑树简单。
六、面试题实战（结合图解）
题 1：判断一棵二叉树是否为平衡树（LeetCode 110）
思路：后序遍历，计算每个节点的左右子树高度，同时检查平衡因子。
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
return getHeightAndCheck(root) != -1;
}
// 若平衡，返回高度；否则返回-1
private int getHeightAndCheck(TreeNode node) {
if (node == null) return 0;
int leftH = getHeightAndCheck(node.left);
if (leftH == -1) return -1; // 左子树已失衡
int rightH = getHeightAndCheck(node.right);
if (rightH == -1) return -1; // 右子树已失衡
// 检查当前节点平衡因子
if (Math.abs(leftH - rightH) > 1) return -1;
return Math.max(leftH, rightH) + 1;
}
题 2：满二叉树高度为 h，求叶子节点数（面试基础题）
解答：根据满二叉树公式，叶子节点数 = 2^(h-1)（如 h=3 时，叶子数 = 4）。
推导：满二叉树总节点数 = 2^h -1，且满二叉树中 n2 = n0 -1（二叉树通用性质），总节点数 = n0 +n1 +n2。因满二叉树无度 1 节点（n1=0），故 2^h -1 =n0 +0 +(n0-1) → 2n0=2^h → n0=2^(h-1)。
题 3：AVL 树插入后，如何确定旋转类型？
步骤：
- 插入节点后，从插入点向上找「第一个平衡因子绝对值＞1 的节点」（失衡根）；
- 计算失衡根的左子树平衡因子（LL/LR）或右子树平衡因子（RR/RL）；
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- 失衡根平衡因子＞1（左子树高）：
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- 左子树平衡因子＞0 → LL 型（右旋）；
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- 左子树平衡因子＜0 → LR 型（先左旋左子，再右旋根）；
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- 失衡根平衡因子＜-1（右子树高）：
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- 右子树平衡因子＜0 → RR 型（左旋）；
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- 右子树平衡因子＞0 → RL 型（先右旋右子，再左旋根）。
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