@一生二，二生三，三生万物——八荒启
@TOC
一. 🚀 引言
1. 背景
如果说GeoGebra你不知道从哪儿学起，那就开始玩儿工具吧，从“点”开始。点在GeoGebra是一个灵魂，就像我们小学的时候学习步骤一样，先学点、然后是线、最后是面，进而是体。那么理所应当，我们先从点开始（采用GeoGebra6制作，对新手友好）。
| 文章路径 | 公众号：八荒启-交互动画 / 创作中心 / 系列教程 / Geogebra从入门到编程全集 / 基础篇 |
|---|---|
| 作者 | 酷酷的脸脸 |
| 所属平台 | 八荒启教育 |
| 更新日期 | 2025.8.28 |
| 资源下载 | 文章配套文件包，公众号内回复“GGB004”（注意不要换行） |
2. 场景
八荒启专精于制作交互动画，比如GGB、Canvas、H5、Unity，本套GGB系列文章主要是以交互动画为大背景，逐步展开具体知识点的讲解。
二、🛠️GeoGebra工具系列_点(Point)
关于点的官方文档：geogebra.github.io/docs/manual…
1. 点的基本操作
打开工具栏后，看到的Point就是点工具，点击之后，屏幕这里会提示已经激活：
鼠标在右边随便点就可以了，取消激活就按一下Esc，然后可以移动画布，或者进行其他操作。
（1）自由点（Free Point）
在Geogebra的视图里讲过了对象，有自由对象，还有依赖对象，当时就是用点举例子。下边的动图中，A是自由点，B是依附点。拖动A，B可以跟着移动。
通过工具在画布上点击创建的点，就是自由点。 自由点的特点：独立、不依附于其他对象 从底层来讲：自由点的父类就是自由对象，因此就继承了父类自由对象的全部属性。
（2）依附点（Dependent Point）
在不同的版本中，Dependent Point的中文翻译并不相同，有时候叫附着点，有时候叫依赖点，但无论怎么叫，核心都是一个：“这种点位置并不是完全自由的，而是“依附”在某个对象上，比如一条直线、一个线段、一个圆或一个多边形的边”。
这里我举一个点依附于线段的例子：
A=$point(-10.63,4.48)
B=$point(-1.29,4.34)
f=Segment(A,B)
C=Point(f)
依附点的作用非常大，可以说是承担了GeoGebra交互动画的半壁江山。后续会讲到 Point 指令的参数，这里先简单了解一下，看不懂没关系，后续中阶内容会讲到：
Point(f,滑动条)
这样就可以用滑动条控制点在这个线段上的位置，十分方便。当然依附点不仅限于直线，对于曲线、几何图形等都是可以的。（注意，依附点无法绑定在无限延长的直线上，最好选择封闭曲线或线段）
理解依附点的实现方式，可以很轻松的完成一些简单几何动画，这对初学者来说非常鼓舞士气！
（4）输入方式
打开代数区，我们直接按照数学中点的标记方式输入就可以：
但是注意这里有些细节：
【1】GeoGebra对大小写严格，务必注意
如果我们要写点的变量名，一定用大写，因为小写a是矩阵（向量）：
【2】直接写（2,2）系统会默认补充一个变量名
输入（2，2）后按下回车系统会默认配上标签为B
【3】从已有的点上进行创建（后续对于复杂的公式，这招非常好用）
点击代数区指令后边的三个点，可以出现复制输入，点击后会把当前的代数式复制一份，然后就可以在里边重新输入了。
（5）点的选择
前面在【基础篇】别着急开工！了解GeoGebra 界面就是了解你的地图里讲到了如何进行对象的选择，我们这里就再具体一些，如果对点进行选择。
【1】选择工具法
可以使用移动工具，刚才点了“点”工具，现在再点一下“移动”工具就可以了去选择点了，也就是这个：
这种方式非常麻烦，一方面需要一个个点击刚才绘制的点，另一方面，当你正在绘制其他图形需要选择其他对象（比如点）时，必须停止绘制，回来选择这个移动工具后才能选择对象。
【2】框选工具法
框选很高级，一网打尽，直接点击这个工具，然后框选就可以了。
【3】利用代数式选择
切换到代数区里边，就可以选择需要的点，我比较喜欢这种方式。注意：可以按下Shift进行加选（不要点中那个小圆圈，那个是隐藏/显示开关）
【4】右键框选发
如果正在绘图，可以使用右键框选的方式进行选择，很便捷，这种方式不仅对点的选择有用，对后续学的其他对象都起作用。这种方式非常常用，可以在其他工具激活的情况下，继续框选，真正实现了选择操作两不误
直接右键鼠标按住不要松然后框选，就可以了
2. 点的其他相关操作
（1）点的更新
可以在代数式上重新输入就可以了，或者双击点，可以出现这个弹窗，在这里更新。
或者在右侧属性栏更新（Ctrl + E可以快速打开，随着版本更新，快捷键可能会失效）：
删除的话只要选中点，按下键盘Delete就可以了，选中代数区里的对象也可以这么操作。
（2）点的删除
只要可以选中就可以删除，无论是在操作界面选中还是在代数式中选中都是一样的效果，直接按下Delete就可以。
（3）点的隐藏与显示（所有对象都通用）
在代数式前面有一个小点，如下图，如果你已经误触了或许已经发现了效果，那就是将对象隐藏/显示（有颜色的是显示）。
（4）画布的移动（所有界面都通用）
按下鼠标中间不要松，左右推动，画布就跟着移动了。在工具没有激活的情况下，也可以鼠标左键按住拖动。
（5）点的属性栏
所有对象都有属性栏，右键点击设置可以看到。
（6）保留多少位小数和中英文切换的问题
经常发现自己点的小数位后……不知道多少位去了，在这里设置：
（7）一些常用的属性
这些属性和它的名字一样简单，可以点一点试一试，scripting是后续写脚本的位置，留意一下这个地方。
（8）一些常用的操作
如果Ctrl + E快捷键冲突了还有没有办法打开属性栏？这里有三个点，点击setting就可以
或者操作界面选择图形，点击setting就可以
3. 点的进阶玩法
（1）滑动点（动态点）
滑动点是依附点的一种应用形式，当我们将点绑定在某个对象（直线、线段、圆、函数曲线）上，就可以让这个点在对象范围内自由滑动。
1.常规的方式直接在图形的轮廓上点一个点就可以了，然后在代数区看到这条指令后边的播放按钮； 2.但是对于多边形，比如三角形，只能用一个集合来实现围绕运动，可以将附属文件下载下来看一下（属于中阶知识，先了解）。
（2）坐标与代数方程的联动
如果我们将滑动点和代数方程联合起来，那就是一个漂亮的动态函数展示，当然，这是简化版的（创意不限，自由发挥）：
（3）随机点（高阶知识，可先了解）
研究随机分布时，我们就会使用随机点，比如我们在[-5,5]的矩形区域之间生成60个点，就可以用这种方式：
l1=Sequence($point(RandomBetween(-5,5),RandomBetween(-5,5)),i,1,60)
这条指令里包含了多个语法，分别是列表、点、随机数，可以先将这句指令复制给AI让其教学一下，可以先关注，后续逐渐深入这些高阶知识。
4. 点在动画中的作用
正如开文说的一样，点是GeoGebra的基础，这里我全面汇总一下点的作用，供参考。
| 作用 | 说明 | 举例 | ||
|---|---|---|---|---|
| 作为计算基础 | 点的坐标直接参与几何/代数计算，是多数量化结果的输入 | 距离 Distance(A,B)、斜率 Slope(Line(A,B))、三角形面积由 A,B,C 坐标计算 | ||
| 作为控制点 | 通过拖动点改变模型参数或形状，相当于“几何化滑块” | 拖动抛物线顶点控制开口与位置；拖动初速度端点改变抛射轨迹 | ||
| 作为交互入口 | 点击/拖动点触发状态切换、脚本或分支逻辑 | OnClick 为布尔量 p 取反：SetValue(p, !p) 实现开关 | ||
| 作为显示定位 | 作为文本/标注的锚点，使信息跟随位置变化 | 在 A 附近显示 Text("f(A.x)="+f(A.x), A) | ||
| 依附点/约束点 | 点被约束在对象（直线、圆、函数、区域）上 | A = Point(c) 使 A 在圆 c 上；A = PointIn(poly) 使 A 被限制在多边形内 | ||
| 参数化/驱动变量载体 | 用点的坐标表达参数，推动函数/曲线随参变化 | A=(t, sin(t))，t 为滑块；或 A=Curve(a(t), b(t), t, t1, t2) | ||
| 轨迹（Locus）起点 | 以点带动另一点生成轨迹，研究依赖关系 | Locus(B, A)：A 在圆上滑动，观察 B 的轨迹 | ||
| 动画驱动 | 让点沿路径自动运动，展示连续变化 | 选中点 A→播放动画；或设置 StartAnimation(A, true) | ||
| 随机/采样点 | 用随机坐标生成样本，做概率与统计实验 | Sequence((RandomUniform(-5,5), RandomUniform(-5,5)), i, 1, 60) | ||
| 测量与标注锚点 | 给长度、角度、切线等动态对象提供标注位置 | 在切点 P 处显示切线方程、曲率数值 | ||
| 变换中心/枢轴 | 作为旋转、伸缩、镜像等几何变换的中心 | Rotate(poly, α, O)；Dilate(c, k, O)；Reflect(A, B) | ||
| 局部坐标系基准 | 自定义原点/基向量的定位，构建局部坐标系 | 以 O 为原点、U,V 为基的坐标变换与投影演示 | ||
| 投影/垂足/最近点 | 通过点定义到对象的投影或最短距离点 | Foot(A, l) 得到 A 到直线 l 的垂足 | ||
| 顶点/几何骨架 | 作为多边形、折线、圆锥曲线等的关键顶点 | Polygon(A,B,C,…)；Polyline(P1..Pn) | ||
| Bézier/样条控制 | 控制点决定曲线形状与平滑度 | Bezier(A,B,C,D)；Spline(P1..Pn) | ||
| 向量端点 | 确定向量的起点与终点，便于力学/位移表示 | Vector(A,B)；合力、分解与平行四边形法则演示 | ||
| 函数取样/数值节点 | 用点序列采样函数，做离散化与拟合 | Sequence((x, f(x)), x, a, b, h)；FitPoly(points, n) | ||
| 布尔与模式选择器 | 点位置对应不同状态/模式 | 将 A 限制在若干离散点 {P1,P2,…}，用 IndexOf 映射为模式编号 | ||
| 数据可视化数据点 | 作为数据集的元素用于拟合/统计图 | 拖动散点影响 FitLine、FitPoly 结果 | ||
| 复数/极坐标表示 | 点与复数/极坐标一一对应，便于运算与几何理解 | 以 A 表示复数 z，展示 ` | ||
| 极径/角度控制 | 用点控制半径与角度，驱动极坐标模型 | A=(r cos θ, r sin θ)；Angle(O,A) 动态测角 | ||
| 圆/弧的定义点 | 圆心与圆上一点决定半径；三点定圆 | Circle(O, A)；Circumcircle(A,B,C) | ||
| 角的定义点 | 三点确定角，拖动任一点改变角度 | Angle(A,B,C)；可作角平分线、等角轨迹 | ||
| 约束到格点/整数点 | 将点限制为整数坐标/网格节点 | A=(Round(x(A)), Round(y(A))) 或开启吸附到网格 | ||
| 选择/拾取目标 | 作为“抓手”定位与选取对象 | 用 A 选取最近元素：Element(Objects, k)（配合距离排序） | ||
| 动态文本/图像锚点 | 文本、图片、标签随点移动与缩放 | 将说明、提示图钉在 A，界面整洁不遮挡主体 | ||
| 自定义工具 I/O | 作为工具的输入/输出参数，复用构造 | 以 A,B 为输入构造垂线工具；输出交点 P | ||
| 优化/求解变量 | 点坐标作为变量参与目标函数，寻找极值 | 调整 A 使 d(A) 最小；用 Extremum/NSolve 配合可视化 | ||
| 物理/几何模拟实体 | 把点当作质点/节点，联动弹簧、杆件等 | 质点-弹簧模型，拖动初始位置观察振动 | ||
| 轨迹描迹/涂绘 | 开启“描迹”记录运动轨迹形成图形 | 对 A 开启“描迹”，配合动画形成轨迹图 | ||
| 分段/状态边界点 | 点越过边界触发分段函数或状态切换 | 若 x(A)>c 则显示方案2，否则显示方案1 | ||
| 时间轴/进度代理 | 用点在数轴上表示时间/进度驱动场景 | t = x(A)；随 t 切换镜头与注释 | ||
| 误差/不确定性可视化 | 用点云表达测量散布与误差范围 | 采样点围绕理论值形成散点带；显示置信区间 | ||
| 教学探究支点 | 作为“可拖、可试错”的探究入口 | 学生拖动 A 观察命题是否保持，进行“拖动不变性”验证 | ||
| 隐藏/辅助点 | 仅为中间计算与构造服务，避免画面杂乱 | 计算垂足、圆心、交点后将辅助点隐藏 | ||
| 记录与表格联动 | 点坐标写入表格，便于统计与导出 | “记录到电子表格”，或用 SetValue(Cell, x(A)) 等同步 |
5. 常见问题与技巧
（1）命名问题
GeoGebra 默认点名为 A、B、C…，点多了以后很容易混淆。尤其是后续需要使用程序操控，这样命名方式简直是无从下手。从实战的角度考虑，建议命名方式如下：
Click1=(0,1)
Click2=(0,2)
Click3=(0,3)
这个命名有两部分组成：“click”+数字，前者一眼看出来是什么内容，后者可以区分每个变量。
后续使用程序操作的时候，只需要一个for循环，快速对目标点进行操作，非常便捷。
当然还有复杂的命名方式，比如添加行号、列号，快速定位点的位置，这个就看大家的发挥自由创作，比如这个作品，就需要用到这种复杂的方式：
养成一个好习惯，从命名开始，非常重要。
（2）交互动画常见的一些命名方式
| 类别 | 命名技巧 | 示例 | 说明 / 编程价值 |
|---|---|---|---|
| 几何点 | 大写+编号或功能前缀 | A1, B2, P_start | 易于在脚本中引用和循环操作，便于序列生成（Sequence） |
| 控制点 / 参数点 | 前缀 Ctrl 或 C + 功能 | Ctrl_r, C_theta | 用于动画驱动或参数化函数控制，脚本可直接读取 |
| 辅助/中间点 | 前缀 Aux 或 M | Aux1, M_intersect | 不显示或灰色，用于中间计算，脚本处理时清晰 |
| 函数/曲线依赖点 | 后缀关联曲线或公式 | P_f, Q_g | 明确点与函数、曲线对应关系，便于更新或批量操作 |
| 序列/批量点 | 下划线+编号 | P_1, P_2, ..., P_n | 与 Sequence / List 配合，方便循环生成和操作 |
| 角/比例/特殊量点 | 使用希腊字母或描述性缩写 | θ0, λ1, α_ctrl | 控制角度、比例或物理量，脚本可直接调用 |
| 触发/交互点 | 前缀 Btn 或 Switch | Btn_show, Switch_mode | 用于点击/拖动触发事件，便于在脚本中绑定 OnClick / OnUpdate |
| 随机/采样点 | 前缀 Rnd + 序号 | Rnd_1, Rnd_2, Rnd_60 | 与随机函数结合，用于概率、蒙特卡洛模拟，便于批量操作 |
| 图形/模块归属 | 前缀模块名 + 功能 | Tri_A, Tri_B, Tri_O | 大型图形或课堂演示模型中，将点归类到模块，方便隐藏/显示和调试 |
| 表格/数据输出点 | 后缀 _data 或 _val | P1_data, P2_val | 对应表格或数据集合，便于统计/导出/拟合函数 |
| 动画轨迹点 | 前缀 T 或后缀 _tr | A_tr, B_tr | 用于描迹或路径动画，便于控制显示与刷新 |
| 固定/参考点 | 前缀 Ref 或后缀 _fix | Ref_O, P_fix | 固定坐标，防止自由点“乱跑”，保证模型稳定性 |
八荒启对作品的命名方式并不强求，这个看个人喜好，但是售后是肯定需要你出马的，所以怎么命名，还希望慎重（自己都看不懂就尴尬了）。
（3）点太多时如何管理
在复杂动画中，如何进行对象管理是一个很头疼的问题。比如对于点来说，主图形点100个，辅助点100个，控制点30个，随机点2000个，一共是2500个点，如果还是靠再代数区用鼠标滚轮滚啊滚，真是够让人崩溃的。
【1】方法一：使用图层； 将不同功能点集放在不同图层，可单独隐藏或者显示某一个图层，还算方便。
但是图层的使用不够灵活，当我们选择某一个对象为图层5后，后续所有的对象都是放在图形5上，一旦忘记切换，真实难受到爆炸。这种方式常用在游戏的操作上，将底层放到图层0，操作的放到图层9，其他地方很少用。
【2】方法二：使用“可以被选择”选项；
细心的你肯定发现了这个，取消勾选之后，对应的点在画布上还在，但是无法选择，这样可以避免误触。
【3】方法三：锁定起来；
每个对象都有锁定按钮，右键可以看到，然后可以选择，但是无法移动。
【4】方法四：隐藏起来；
这个是常见的一种做法，直接隐藏，但是出现一个新的问题：如果我们需要重新修改或者调整，找对应的点需要在代数区扒拉大半天。
在实战项目中，常常对这种方式进行升级（属于debug部分知识，后续文章会讲到），我们只需要建立一个复选框，把名字改为debug:
然后选中需要隐藏的点，和这个复选框关联，就OK了。
当我们取消勾选复选框的时候，对应的点就消失。
这种方式在实际项目中非常常见。
6. 总结与思考
点的使用非常基础，激活点工具后点击画布即可生成点；如果想进阶一些，就在代数区自己输入一个点；如果想更多学习一些，那就是点的选择、点和图形的应用、点和代数式的应用；当然还有更高阶的，比如使用指令随机生成点；最后呢讲了一些点的管理，比如使用复选框。
本篇整体内容不算复杂，毕竟是基础篇内容，更多是讲解一些实战总结和技巧，给大家开阔视野，方便下一步学习。
三. ✨结尾
本文的配套文件已整理，可以上手试一下，获取方式见文章首部表格。
最后，用点绘制一棵小树，祝你笑口常开，生活愉快。
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