研究一个学术的历史，我们就能明白其产生原因，深入其本质，我们往往更能掌握其精髓。 依赖关系 在古希腊几何学中一个量依赖于另一个量的依赖关系非常常见，例如：圆的面积公式 S=πr²，这里的面积 S 就依赖于圆的半径 r，但是现在人们也只是认为这是一种几何比例关系。 随后尼古拉·奥雷斯母，这样一位法国哲学家首次系统地用纵坐标和横坐标表示变量之间的关系，这也被认为是函数图形表示法的开端。 定义与解析式 后来伽利略在物理研究中，研究了大量的变量之间的关系，让人们得以用数学来表示自然现象，我们来拿距离公式 s=vt 来举例，时间总是在自主的变化，就在你看这篇文章时，时间也悄然流过，所以 t 是会自主变化的，所以我们认为距离是随着时间而改变的，v 也就是 s 相对于 t 的导数（瞬时变化量，简单理解为一个量在一瞬间变化的多少），s 就是 v 的积分，这时候牛顿就发现了这样的规律，进一步开创了微积分，随着微积分的一步步进化，数学家们发现像 s=vt 这样的式子需要一个定义，所以莱布尼茨就首次用单词 fuction 为这样的式子命名，虽然它有了名字，但是函数是什么仍然不明确，再后来约翰·伯努利将函数简单的定义为一些变量与常量用任意方式所组成的代数式，这种代数式的核心为解析式，此时函数进入了更新的领域“解析” 解析几何与符号变化 在上述文章期间还有一位数学家—笛卡尔同样为函数做了一定贡献，笛卡尔发明了平面直角坐标系（笛卡尔坐标系），为后来的函数进一步研究提供了翱翔的舞台，并且他将以往物理学中的复杂符号进行了更新，变为 x 和 y，同时也代表平面直角坐标系中的横轴和纵轴，同时产生了有序数对（x,y），平面直角坐标系也称为解析几何，平面直角坐标系上的每个点都可以用有序数对来表示，这也体现了“数形结合”的思想 解析式的细分 随着解析式的出现，数学家达朗贝尔认为函数解析式也就是变量之间用加，减，乘，除，幂任意方式组成的式子，叫做一般式，但总有一些例如：绝对值，它就形成了两段函数叫做分段函数以及三角函数等等...这种叫超越式 抽象化 下面数学家欧拉登场了，欧拉系统地引用了 f（x）=y 这样的符号，来表示 x 的函数为 y，但欧拉在研究函数时发现这样的解析式函数过于片面，如果遇到 y²=x²这样的函数，它也有解析式，但它的一个 x 出现了两个 y，可是这样会引起极大矛盾，所以它就不能被称为函数，而被称为方程，同时欧拉也意识到了另外一种单一性，从而提出了“任意函数”。 严格化与现代定义的确立 再到后面，数学家狄利克雷发现给 x 输入 1 是 y 为有理数，给 x 输入 0 时 y 为无理数，从之前的定义输入一个 x 可以得到一个 y，那它到底是函数吗？它也是函数，它是分段函数，由此狄利克雷给了一个定义，就是在定区间内输入一个 x 值能得到一个 y 值，这就是函数。 最终形式化 康托尔研究了一个内容叫集合，然后他发现在一种固定法则内集合之间会产生一种对应关系叫映射，在 x 集合中的 x 值与 y 值相映射，叫做函数，那么这样的情况叫做定义域，也就是说在定义域内，一个 x 与另一个 y 之间的映射为函数。 至此函数就被研究透彻了！
