Weigarten变换

用户7442424932252
86 阅读1分钟

#微分几何

Weigarten变换定义

对任意切向量 v∈TpS\mathbf{v}\in T_pS，考虑单位法向量场 n\mathbf{n} 在曲面邻域的方向导数，这个求导映射就是Weigarten变换或者形算子

用符号化的语言抽象描述：

Sp:TpS→TpS,Sp(v)=−Dv(n)S_{p}:T_{p}S \rightarrow T_{p}S, S_{p}(\mathbf{v}) = -D_{v}(\mathbf{n})
  • Dv(n)D_{\mathbf{v}}(\mathbf{n}) 表示法向量场沿切向量 v\mathbf{v} 的方向导数
  • SpS_p 是线性算子
  • 负号是个约定的方向

Weingarten变换（形算子）与第一、二基本形式的关系

符号说明

假设有参数化曲面r=r(u1,u2)\mathbf{r}=\mathbf{r}(u^1,u^2)，在局部坐标 (u1,u2)(u^1,u^2) 下记偏导为

ri=∂r∂ui,rij=∂2r∂ui∂uj,i,j=1,2.\mathbf{r}_i=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u^i},\qquad \mathbf{r}_{ij}=\dfrac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial u^i\partial u^j},\quad i,j=1,2.

定义单位法向量:

n=r1×r2∣r1×r2∣.\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2|}.

第一基本形式 第一基本形式gij=⟨ri,rj⟩g_{ij}=\langle \mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j\rangle 为局部切空间上的内积度量： 矩阵写法：

gij=(EFFG)g_{ij} = \begin{pmatrix}E&F \\ F&G\end{pmatrix}

系数记做：E=g11,;F=g12=g21,;G=g22E=g_{11},;F=g_{12}=g_{21},;G=g_{22}。

第二基本形式 第二基本形式bij=⟨rij,n⟩b_{ij}=\langle \mathbf{r}_{ij},\mathbf{n}\rangle 为切向量的微小变化在法向的投影

bij=(LMMN)b_{ij} = \begin{pmatrix}L&M \\ M&N\end{pmatrix}

系数记做：L=b11,;M=b12=b21,;N=b22L=b_{11},;M=b_{12}=b_{21},;N=b_{22}。

Weingarten方程

对 n\mathbf{n} 对坐标求偏导，符号记做 ∂in=ni\partial_i\mathbf{n}=\mathbf{n}_i。

  • ∂1n=n1\partial_1\mathbf{n}=\mathbf{n}_1:点 pp 沿u1u_{1}移动 nn 的变化率
  • ⟨n,rj⟩=0\langle\mathbf{n},\mathbf{r}_j\rangle=0

⟨n,rj⟩=0\langle\mathbf{n},\mathbf{r}_j\rangle=0 对 uiu^i 求导得：

⟨∂n∂ui,rj⟩+⟨n,∂rj∂ui⟩=0⟨ni,rj⟩+⟨n,rij⟩=0.\begin{aligned} \langle \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u^{i}},\mathbf{r}_{j}\rangle + \langle \mathbf{n},\frac{\partial \mathbf{r}_{j}}{\partial u^{i}}\rangle = 0 \\ \langle \mathbf{n}_i,\mathbf{r}_j\rangle + \langle \mathbf{n},\mathbf{r}_{ij}\rangle =0. \end{aligned}

此处有i,ji,j 两个指标

因为 ⟨n,rij⟩=bij\langle \mathbf{n},\mathbf{r}_{ij}\rangle=b_{ij}，所以 ⟨ni,rj⟩=−bij\langle \mathbf{n}_i,\mathbf{r}_j\rangle = -b_{ij} 而 ni\mathbf{n}_i 本身是切向量（因为 ⟨ni,n⟩=0\langle\mathbf{n}_i,\mathbf{n}\rangle=0），可以在基 r1,r2{\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2} 上展开：

ni=αiri=α1r1+α2r2\mathbf{n}_{i} = \alpha^{i}\mathbf{r}_{i} = \alpha^{1}\mathbf{r}_{1} + \alpha^{2}\mathbf{r}_{2}

注：αi\alpha^i 这里是行向量

⟨ni,rj⟩=⟨αiri,rj⟩=αi⟨ri,rj⟩⏟gij\langle \mathbf{n}_i,\mathbf{r}_j\rangle=\langle \alpha^{i}\mathbf{r}_{i},\mathbf{r}_{j} \rangle=\alpha^{i} \underbrace{\langle \mathbf{r}_{i},\mathbf{r}_{j} \rangle}_{g_{ij}}

所以：

αigij=bij\alpha^{i} g_{ij} = b_{ij}

变形得：

αi=bijgij−1\alpha^{i} = b_{ij}g_{ij}^{-1}

切线方向的形算子 定义形算子为 S:=−DvnS:=-D_{v}\mathbf{n}，则：

S(rk)=−ni=−bijgij−1rk​.S(\mathbf{r}_k)=-\mathbf{n}_i= - b_{ij}g_{ij}^{-1}\mathbf{r}_k​.

此处3个指标i,j,ki,j,k

任意切向量 vv 的形算子 给定切平面上的任意向量：

v=vi\mathbf{v} = v^i

沿 v\mathbf{v} 求 n\mathbf{n} 的方向导数：

Dvn=vini=−bijgij−1virk​.D_{v}\mathbf{n} = v^{i}\mathbf{n}_{i} = -b_{ij}g_{ij}^{-1} v^{i}\mathbf{r}_k​.

定义：

S=bijgij−1S = b_{ij}g_{ij}^{-1}

则：

S(v)=Dvn=−SvirkS(\mathbf{v}) = D_{\mathbf{v}}\mathbf{n} = -Sv^{i}\mathbf{r}_{k}

这是形算子（Weingarten映射）的指标形式，确实简化的符号。

将E,F,GE,F,G和L,M,NL,M,N分别代入S(ri)S(\mathbf{r}_i)和S(v)S(\mathbf{v})就能得到WeingartenWeingarten变换的代数表达式：

n1=FM−GLEG−F2r1+FL−EMEG−F2r2\mathbf{n}_{1} = \frac{FM-GL}{EG-F^{2}}\mathbf{r}_{1}+\frac{FL-EM}{EG-F^2}\mathbf{r}_{2}
n2=FN−GMEG−F2r1+FM−ENEG−F2r2\mathbf{n}_{2} = \frac{FN-GM}{EG-F^{2}}\mathbf{r}_{1}+\frac{FM-EN}{EG-F^2}\mathbf{r}_{2}
nv=S(v)=(LG−MF) v1+(ME−LF) v2EG−F2 ru+(MG−NF) v1+(NE−MF) v2EG−F2 rv.n_{v} = S(\mathbf{v}) = \frac{(L G - M F)\,v^1 + (M E - L F)\,v^2}{EG-F^2}\,\mathbf{r}_u + \frac{(M G - N F)\,v^1 + (N E - M F)\,v^2}{EG-F^2}\,\mathbf{r}_v.
avatar
文章
阅读
粉丝