【一看就会一写就废 指间算法】统计全为 1 的正方形子矩阵 —— 动态规划

指尖划过的轨迹，藏着最细腻的答案~

题目：

给你一个 m * n 的矩阵，矩阵中的元素不是 0 就是 1，请你统计并返回其中完全由 1 组成的 正方形 子矩阵的个数。

示例 1：

输入：matrix =
[
[0,1,1,1],
[1,1,1,1],
[0,1,1,1]
]
输出：15
解释：
边长为 1 的正方形有 10 个。
边长为 2 的正方形有 4 个。
边长为 3 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 10 + 4 + 1 = 15.

示例 2：

输入：matrix =
[
[1,0,1],
[1,1,0],
[1,1,0]
]
输出：7
解释：
边长为 1 的正方形有 6 个。
边长为 2 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 6 + 1 = 7.

提示：

• 1 <= arr.length <= 300
• 1 <= arr[0].length <= 300
• 0 <= arr[i][j] <= 1

分析：

动态规划一般分为3步走：

• 确定dp数组含义： 定义f[i][j]的含义为以(i,j)为右下角的全为1的矩形的数量。

• 状态转移方程： 上述图像来自：灵神的题解

根据上面的分析我们有状态转移方程： $f[i][j] = min(f[i-1][j-1],f[i-1][j],f[i][j-1]) + 1$

• 初始化： 上述方程中，在i或j为0时会越界，因此我们需要初始化，将i为0时或j为0时初始化为matrix的值； 但我们也可以使用另一种方式，在f数组中为matrix的最左边和最上面增加一列或一行，这样i-1或j-1就不会越界，因为增加了行列，状态转移方程也需要+1，变为： $f[i+1][j+1] = min(f[i][j],f[i][j+1],f[i+1][j]) + 1$

AC代码：

class Solution {
public:
    int countSquares(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        int ans = 0;

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j]) {
                    f[i + 1][j + 1] = min({f[i][j], f[i][j + 1], f[i + 1][j]}) + 1;
                    ans += f[i + 1][j + 1];
                }
            }
        }

        return ans;
    }
};