【一看就会一写就废 指间算法】将一个数字表示成幂的和的方案数 —— 动态规划 0-1背包

题目：

给你两个 正 整数 n 和 x 。

请你返回将 n 表示成一些 互不相同 正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 [n1, n2, ..., nk] 的集合数目，满足： $n = n1^x + n2^x + ... + nk^x$

由于答案可能非常大，请你将它对 10^9 + 7 取余后返回。

比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 2^3 + 3^3 + 5^3 。

示例 1：

输入：n = 10, x = 2
输出：1
解释：我们可以将 n 表示为：n = 3^2 + 1^2 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。

示例 2：

输入：n = 4, x = 1
输出：2
解释：我们可以将 n 按以下方案表示：

• n = 4^1 = 4 。
• n = 3^1 + 1^1 = 4 。

提示：

1 <= n <= 300
1 <= x <= 5

分析：

将n看成背包容量，将选中的数字看成价值，就变成了选择不同价值的物品将背包装满的方案数，即0-1背包问题； 动态规划一般分为3步走：

• 确定dp数组含义： 设 dp[j] 表示使用若干个互不相同的数，其 x 次幂的和为 j 的方案数。

• 状态转移方程： 实际计算时，可以倒序从大到小枚举 j，当尝试加入数字 i 时，此时可得到如下推论：

  • 如果满足 $j<i^x$ 时，则 dp[j] 保持不变；

  • 如果满足 $j≥i^x$ 时， $dp[j]=dp[j]+dp[j−i^x]$ ；

• 初始化： dp[0] = 1 这是一种常见技巧，用来触发起点计数，此处其含义就是总和为0的方案数为1。

依次计算并返回 dp[n] 即为答案。

AC代码：

class Solution {
public:
    int numberOfWays(int n, int x) {
        vector<long long> dp(n+1); 
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; pow(i, x) <= n; i++) {
            int v = pow(i, x);
            for (int j = n; j >= v; j--) {
                dp[j] += dp[j - v];
            }
        }

        return dp[n] % 1'000'000'007;
    }
};