数学

光殿
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多面体

多面体的顶点数(V)，面数(F)，棱数(E)之间存在数学关系。

V-E+F=2

列表

  1. 公式

1(2n−1)∗(2n+1)=12(12n−1−12n+1)\frac{1}{(2n-1)*(2n+1)} =\frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} )

  1. 正方体表面展开图
  • 二二二型：

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  • 三三型：

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  • 一三二型：

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  • 一四一型：

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  • 不能作为正方体展开图的 image.png
  1. 计算分式技巧

  • 偶连式，设参法 image.png

  • 先倒后求 image.png

  • 裂项相消

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全等三角形

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（边角边/SAS）

image.png 2. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（角边角/ASA）

image.png 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（角角边/AAS）

  1. 三边分别相等的两个三角形全等（边边边/SSS）

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  1. 总结 image.png

内心（角平分线）

角平分线上的点到角的两边的距离相等

  • 角平分线性质的逆定理

到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上

  1. 三角形角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点（称为内心），内心到三角形三条边的距离相等（这个距离即三角形内圆的半径）
  2. 角平分线分线段成比例定理 三角形一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角两边对应成比例
  • 例如：在三角形ABC中，若AD平分角BAC交BC于D，则BD/DC=AB/AC
  1. 内切圆半径公式r=S/p(S为三角形面积，p为半周长,p=(a+b+c)/2)

外心（垂直平分线）

垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

垂直平分线的逆定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

  1. 三角形的垂直平分线

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这个点称为外心

  • 外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径R,因为外心在每条边的垂直平分线上，满足到两端点距离相等）
  • 外心是三角形外接圆的圆心，这个距离即为外接圆的半径
  1. 外心的位置与三角形形状相关
    • 锐角三角形：外心在三角形内部。
    • 直角三角形：外心在斜边中点（斜边为外接圆的直径，r=斜边/2）
    • 钝角三角形：外心在三角形外部
  2. 外接圆的半径公式：R=a2sinA=b2sinB=c2sinCR=\frac{a}{2sinA} = \frac{b}{2sinB} = \frac{c}{2sinC}(正弦定理)

重心（中线）

三角形的重心是三条中线的交点，重心将每条中分为2:1的两段，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的2倍

重心将三角形分成6个面积相等的小三角形

对应的圆：无特定对应圆，是三角形的几何中心

坐标性质：若顶点坐标为(xa,ya)、(xb,yb)、(xc,yc)(x_{a},y_{a})、(x_{b},y_{b})、(x_{c},y_{c})，则重心坐标为(xa+xb+xc3,ya+yb+yc3)(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3})

垂心（高线）

三角形三条高线的交点，无特定对应的圆

性质：

  1. 垂心的位置与三角形的形状相关
    • 锐角三角形：垂心在三角形内部
    • 直角三角形：垂心与直角顶点重合
    • 钝角三角形：垂心在三角形外部
  2. 锐角三角形的垂心到在顶点的距离这和等于外接圆直径与内切圆直径这和

多边形

  1. 多边形的对角线

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线

n边形(n>=3)从一个顶点可以引出(n-3)条对角线，n个顶点可以引出n(n-3)条对角线，但是每条对角线重复计算了一个次，因此n边形共有n*(n-3)/2条对角线。

  1. 多边形内角和、外角和

n边形的内角和为(n-2)*180度，外角和为360度。

  1. 平行四边形

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  1. 平行线之间的距离

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  1. 平形四边形的对角线互相平分

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  1. 平行四边形的判定 image.png

  2. 矩形的性质

  • 矩形四个角都是直角和对角线相等
  • 矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成的四个等腰三角形面积相等
  1. 直角三角形的性质

直角三角形的斜边中线等于斜边的一半

  1. 菱形的性质
    • 菱形四条边都相等
    • 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
    • 菱形的面积等于对角线乘积的一半
  2. 正方形的性质

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  1. 判定方式

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  1. 三角形中位线定理

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

中点、平行于第三边、中位线，知二推一

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  1. 中点四边形

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对称中心

在平面直角坐标系中，点 A (x,y)关于原点成中心对称的点B的坐标是 B(-x,-y)

在平面直角坐标系中，若点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2)关于点P(x,y)中心对称，则点M是线段P1P2的中点。 则

{x2=2x−x1y2=2y−y1\begin{cases} x_2 = 2x - x_1 \\ y_2 = 2y - y_1 \end{cases}

一元二次方程

最常用的是一元二次方程的韦达定理，对于标准形式的一元二次方程：
ax2+bx+c=0（a不等于0）\

顶点坐标为：(−b2a,4ac−b24a)(-\frac{b}{2a} ,\frac{4ac-b^{2} }{4a}) 求根公式：x=−b±b2−4ac2ax= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

设其两个根为x1​和x2​，则根与系数的关系为：

x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}

x1∗x2=cax_{1}*x_{2}= \frac{c}{a}

方差

标准差是方差的平方根 image.png

反比例函数

反比例函数中比例系数k的几何意义

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函数平衡

对于函数y=±kx+ay=\pm \frac{k}{x+a}

  • 若a>0，图像向左平移a个单位
  • 若a<0，图像向右平移|a|个单位

函数平移的核心规律的“左加右减”（针对自变量x的变化）

  • 对于任意函数 y=f(x),y=f(x+a)的图像是y=f(x)的图像沿x轴向左平移|a|个单位（a>0时）；
  • y=f(x-a)的图像是y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位（a>0时）

旋转

在平面直角坐标系中的图形上的任意一点的坐标为 (x,y)，将该图形绕原点按逆时针（或顺时针）方向旋转90度后对应点的坐标为(-y,x)(戒(y,-x))

设原坐标为(x,y)，旋转t角度后得到的新坐标(x1,y1)，则

  1. 逆时针旋转t度

x1=xcost-ysint

y1=xsint+ycost

  1. 顺时针旋转t度

x1=xcost+ysint

y1=-xsint+ycost

垂径定理

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圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距（圆心到弦的垂线段的长）

  1. 垂径定理的逆定理1

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  1. 垂径定理的逆定理2

    平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

圆心角定理

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圆周角定理

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圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

任何一个三角形都有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆

不能成为圆内接四边形的特殊图形：平行四边形（不包括矩形、正方形）、菱形（不包括正方形）、因为平行四边形和菱形的对角不一定互补

性质：圆内接四边形对角互补。

正多边形

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所有的正多边形都是旋转对称图形，最小旋转角度为 360度/n

弧长

  1. 弧长公式：在半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l，l=npiR/180
  2. 扇形面积：如果扇形的半径为R，圆心角为n度，扇形的弧长为l，那么扇形的面积S的计算公式为S=npiR^2/360=1/2*lR

比例中项

如果三个数a,b,c满足比例a:b=b:c，则b就叫做a,c的比例中项。

相似三角形

  1. 一般对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。角A=角A1，角B=角B1，角C=角C1，AB/A1B1=AC=A1C1=BC=B1C1。

  2. 相似三角形对应边的比叫相似比：AB/A1B1=3。相似比是有顺序的比，若三角形ABC与三角形A1B1C1的相似比是2/3，那么三角形A1B1C1与三角形ABC的相似比为3/2。

  3. 判定三角形相似

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  • 有两个对应角相等的三角形相似
  • 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似

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  • 三边对应成比例的两个三角形相似

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三角形的重心

三角形三条中线的交点叫做重心 image.png

三角形的重心分每一条路线成1:2的两条线段，由图4-5-1知，DG:DA=EG:GB:FG:GC=1:2。

相似三角形的性质：

  1. 面积比=（相似比）的平方，周长比=相似比 image.png

  2. 相似三角形中任何“对应线段”的比都等于相似比。

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三角函数

若角A+角B=90度，则sinA=cosB,cosA=sinB,tanA*tanB=1。

直线与圆

直线与圆相切

定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线的判定方法：

  1. 概念法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
  2. 数量关系法：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，这条直线是圆的切线。
  3. 判定定理法：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线的性质

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切线长

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切线长定理 image.png

对于切线长定理，明确以下两点

若已知圆的两条切线相交，则切线长相等

若已知圆的两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径。

三角形的内切圆

内心是三角形三条内平分线的交点。

三角形的内心到三边的距离相等。

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直角三角形的内切圆的半径r=(a+b+-c)/2，其中a,b是两直角边长，c为斜边长。

等边三角形的内切圆的半径r=36a\frac{\sqrt{3}}{6}a

三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半。S△ABC=12lrS_{\bigtriangleup ABC} =\frac{1}{2} lr。l为三角形ABC的周长。

一般n边形的内切圆的半径r=2S/l，S为多边形面积，l为多边形周长。

圆锥侧面积和全面积

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