第二基本形式

#几何/微分几何

第二基本形式讲义

引言

在前文中我们已通过内积结构定义了曲面上的第一基本形式，它刻画了切空间上的度量结构。为了进一步刻画曲面的弯曲性质，我们引入第二基本形式，它从另一个角度反映曲面的“法向变化率”，即法向量在切空间方向的导数行为。

本文依旧从内积结构出发，使用方向导数构造第二基本形式，揭示其几何意义。

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曲面的法向量场

设正则曲面由参数化映射

其单位法向量定义为 $\mathbf{n}(u,v)$

这是曲面上每一点处法向量的标准构造，方向与切平面正交，模长为1。

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建立局部自然标架

在曲面上选取一点 $p = \varphi(u_0, v_0)$，设曲面的参数化为 $\varphi(u,v)$。在该点处，$\varphi_u$ 与 $\varphi_v$ 是一组线性无关的切向量，张成切平面 $T_pS$。在该点构造曲面的自然标架$\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{n}\}$：

切向方向一：

切向方向二：

$\mathbf{e}_1$ 与 $\mathbf{e}_2$ 一般不正交，除非曲面参数化是正交的。

法向方向：

这个标架 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{n}\}$ 是曲面上一组局部自然标架，其中 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 张成切平面，$\mathbf{n}$ 是法向量，满足：

注意：$\mathbf{e}_1$ 和 $\mathbf{e}_2$ 并不一定正交。

我之前记错了：$\mathbf{e}_1$ 和 $\mathbf{e}_2$是正交的，实际上不一定正交 讨论曲面的流程和曲线一致：讨论点$p$的微小运动，对标架三个向量分量的导数。

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法向量在切向方向的变化率（方向导数）

在自然标架$\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{n}\}$下，我们讨论$\mathbf{n}$沿切方向$\mathbf{v}$的变换。 设切方向$\mathbf{v}$：

我们关心法向量$\mathbf{n}$沿方向$\mathbf{v}$的变化率，即方向导数：

方向导数的几何意义：在$p$点处，若沿$\mathbf{v}$方向前进，单位法向量的变换率 （1）若 $D_{\mathbf{v}} \mathbf{n} = 0$，表示曲面在该方向上是“平的”；
（2）若 $D_{\mathbf{v}} \mathbf{n} \neq 0$，表示法向量在该方向发生变化，曲面弯曲。

用$D_{\mathbf{v}} \mathbf{n}$的内积来描述某个方向上的弯曲程度是不错的想法。

切向量的导数与第二基本形式

计算方向 $\mathbf{v} = a\,\varphi_u + b\,\varphi_v$ 上的切向量变化率。 我们关心的是沿该方向构造的曲线的“加速度”，即切向量对自身的导数：

• 沿着方向 $\mathbf{v}$ 对 $\varphi_u$ 求导，有：

• 同理：
  $$D_{\mathbf{v}} \varphi_v = a\,\varphi_{uv} + b\,\varphi_{vv}$$

考虑复合向量函数：

它是方向 $\mathbf{v}$ 上的切向量。我们要对它在方向 $\mathbf{v}$ 上求导，即方向导数：

展开这个式子：

其中用到了偏导对称性 $\varphi_{uv} = \varphi_{vu}$。

正则曲面应该满足$C^2$连续，根据$Schwarz$定理，点$p$的领域附近满足偏导对称性

将 $\mathbf{v} = a\,\varphi_u + b\,\varphi_v$ 代入后，我们可以计算 $\varphi_{\mathbf{v}} := a\,\varphi_u + b\,\varphi_v$ 的导数：

将$D_{\mathbf{v}} \varphi_{\mathbf{v}}$投影到$\mathbf{n}$做内积：

内积的线性性质展开：

定义三个基本量$L,M,N$：

将$a,b$替换成点$p$的微小位移$du,dv$描述，得到曲面的第二基本形式：

总结

• 曲面第二基本形式是点$p$沿$\mathbf{v}$方向的微小移动，引起切向量的微小变化在法向的投影

法曲率

将$D_{\mathbf{v}} \varphi_{\mathbf{v}}$投影到法向量上和$\mathbb{n}$做内积，得到该方向上的法向加速度分量，即法曲率$k_n(\mathbf{v})$：

回忆第一基本形式：

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几何意义

• 第一基本形式刻画的是 切空间上的内积；
• 第二基本形式刻画的是 法向量在切方向上的变化率。

例题

计算椭圆曲面的法曲率

设曲面由参数化方程：

一阶导数

第一基本形式定义为：

计算内积得到：

$E = \langle \varphi_u, \varphi_u \rangle = 1 + 4u^2, F = \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle = 4uv, G = \langle \varphi_v, \varphi_v \rangle = 1 + 4v^2$

单位法向量由 $\varphi_u \times \varphi_v$得：

归一化后得单位法向量：

二阶导数：

计算$L,M,N$： 其中：

带入第二基本形式$\mathrm{II} = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$:

法曲率 取任意方向 $\mathbf{v} = a,\varphi_u + b,\varphi_v$，则：

第一基本形式：

因此法曲率：

计算$(u, v) = (0, 0)$的法曲率：

任意方向 $\mathbf{v} = a\,\varphi_u + b\,\varphi_v$ 上有：

因此法曲率为：

抛物面在原点的法曲率为常数$2$，任意方向上都一样，说明该点为椭圆点（正曲率）

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第二基本形式公式总结

1. 定义

第二基本形式的系数为：

2. 矩阵表达

第二基本形式的矩阵为：

3. 张量表达

第二基本形式的张量形式为：

其中：

4. 几何意义

• 描述曲面的弯曲性质。
• 计算法曲率：$\kappa_n = \frac{h_{ij} v^i v^j}{g_{ij} v^i v^j}$。
• 计算高斯曲率：$K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$。

5. 总结

• 第二基本形式描述了曲面的外在几何。
• 矩阵表达：$II = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}$。
• 张量表达：$h_{ij} = \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{n}$。