LCS 01. 下载插件（数学计算推导过程）

Problem: LCS 01. 下载插件

文章中存在些许公式，建议 PC 端打开观感更佳

思路

通过计算方程一阶导数、二阶导数，以及向上取整的离散性质进行分析

解题过程

1. 问题分析+方程推导

   • 插件总数为 正整数$n$ ，限制范围$1 <= n <= 10^5$

   • 假设我们最优解选择$m$次用来将带宽加倍， $m$为非负整数

   • 我们将问题拆分为 提速,下载 交错并以下载结束的场景

   • 我们使用$a_i$表示提速的次数，$b_i$表示下载的数量，使用$F_{m}$表示最优解，使用$f_{k}$表示有$k$组交错场景的耗时

   • 假设只有$1$组时：$a_0=m, b_0=n$，可以得出：

     $$F_m=f_{1}=m+\frac {n} {2^m}$$

   • 假设有$2$组时：$[a_0, b_0]、[a_1, b_1]$，可以得出：

     $$f_{2}=a_0+\frac {b_0} {2^{a_0}}+a_1+\frac {b_1} {2^{a_0+a_1}}$$
     • 其中$a_0+a_1=m$ 且$b_0+b_1=n$
     • 带入公式可以得出:
       $$\begin{align} f_{2} & =a_0+a_1+\frac {b_0} {2^{a_0}}+\frac {n-b_0} {2^{m}}\\ f_{2} & =m+\frac {b_0} {2^{a_0}}+\frac {n-b_0} {2^{m}}\\ f_{2} & =m+\frac {n} {2^{m}}+\frac {b_0} {2^{a_0}}-\frac {b_0} {2^{m}}\\ f_{2} & =f_1+\frac {b_0} {2^{a_0}}-\frac {b_0} {2^{m}}\geq f_1\\ \end{align}$$
     • 仅当$b_0=0\ ||\ a_0=m$时$f_2=f_1$成立，其中$b_0=0$表示$a_0$和$a_1$连续中间不存在下载部分，$a_0=m$表示不能存在后续$[a_1, b_1]$部分，这两种条件均表示，一组较两组更优
     • 所以存在两组合法的 提速,下载 场景则一定不是最优解。

   • 以此类推，我们可以得出最优解：

     $$F_m=m+\frac {n} {2^m}$$

   • 而根据题目描述可知，最后一次下载并不是完全可以利用网速，即

     $$n\bmod2^m\not=0$$

   • 所以可以得出 (公式1)：

     $$\begin{align} F_m&=m+\lceil\frac {n} {2^m}\rceil\\ &=\lceil m+\frac {n} {2^m}\rceil\\ \end{align}$$
2. 对于 (公式1)，由于包含取整函数$\lceil.\rceil$，直接分析其极小值较为复杂，我们将其拆分为两部分：$g_m=m+\frac {n} {2^m},\ F_m=\lceil g_m\rceil$
   • 先计算$g_m$的一阶导数以计算极值
     • 计算一阶导数
       • 将$g_m$转为指数形式：$g_m=m+{n}\cdot{2^{-m}}$
       • 对$m$部分进行求导：
         $$\frac {d} {dm}(m)=1$$
       • 对${n}\cdot{2^{-m}}$部分进行求导：
         $$\begin{align} \frac {d} {dm}({n}\cdot{2^{-m}})&=n\cdot(\frac {d} {dm}({2^{-m}})) \\ &=n\cdot(2^{-m}\ ln\ 2\cdot\frac {d} {dm}(-m)) \\ &=-n\ ln\ 2\cdot2^{-m} \\ \end{align}$$
       • 所以$g'_m=1-n\ ln\ 2\cdot \frac{1}{2^m}$
     • 确定极值
       • 令$g'_m=0$，即$1-n\ ln\ 2\cdot \frac{1}{2^m}=0$
       • 可以求出$m^*=log_2(n\ ln\ 2)$
   • 再计算$g_m$的二阶导数以计算极小值
     • 求二阶导数
       $$\begin{align} g''_m&=\frac {d} {dm}(1-n\ ln\ 2\cdot 2^{-m})\\ &= -n\ ln\ 2\cdot(2^{-m}\ ln\ 2\cdot\frac {d} {dm}(-m))\\ &= n(ln\ 2)^2\cdot2^{-m} \\ \end{align}$$
     • 根据二阶导数得知$g''_m>0$，所以$g_m$是严格凸的
     • 所以$m^*=log_2(n\ ln\ 2)$是最小值点
   • 再根据离散性质确定$F_m$的最小值
     • 由于$F_m$是$g_m$的取整函数，所以其最小值必定出现在$m^*$附近
     • 所以 (公式2) 为：
       $$\begin{align} &m^*=log_2(n\ ln\ 2)\\ &m_1= \lfloor m^* \rfloor\\ &m_2= \lceil m^* \rceil\\ &F_{min}=min(F_{m_1}, F_{m_2}) \end{align}$$

复杂度

使用 (公式1) 计算

• 时间复杂度: $O(log\ n)$
• 空间复杂度: $O(1)$

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var leastMinutes = function (n) {
    // 假设f(m)表示宽带加倍m次下载n个插件需要的时间
    // f(m) = m + ceil(n / 2^m)，0 <= m <= (n>>m=0)
    let m = 0;
    let min = Infinity;
    while (n >> m) {
        min = Math.min(min, m + Math.ceil(n / (1 << m)));
        m++;
    }
    return min;
};

使用 (公式2) 计算

• 时间复杂度: $O(1)$
• 空间复杂度: $O(1)$

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var leastMinutes = function (n) {
    let m = Math.log2(n * Math.LN2);
    if (m < 0) m = 0; // m >= 0
    const l = Math.floor(m);
    const r = Math.ceil(m);

    return Math.min(
        l + Math.ceil(n / (1 << l)), 
        r + Math.ceil(n / (1 << r))
    );
};