第一基本形式

#几何/微分几何

建立曲面上的内积度量

给定$\mathbb{R^3}$中正则曲面$S$和$S$上任意一点$p$，设曲面由参数 $\varphi(u,v): D \to \mathbb{R}^3$ 给出，在$(u,v)$参数坐标系下如何定义$p$点的内积度量呢？该结构使得我们能够定义：

• 曲面上切向量的长度；
• 进而导出第一基本形式。

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建立局部内积空间

定义切平面基向量

设曲面由光滑参数化映射 $\varphi(u,v): D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 给出，令 $p = \varphi(u_0, v_0)$。 定义两个偏导数向量（称为参数基向量）：

由于 $\varphi$ 是正则参数化，我们有 $\varphi_u, \varphi_v$ 在 $p$ 处线性无关。

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建立切空间

$S$ 在 $p$ 点的切空间可定义为：

任意切向量 $w \in T_p(S)$ 都可以唯一地表示为：

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利用 $Gram$ 行列式定义内积

我希望在切空间$T_p(S)$上定义内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle_p$，采用如下方式构造该内积： 首先令： $E:=\langle\varphi_u,\varphi_u\rangle,\quad F:=\langle\varphi_u,\varphi_v\rangle,\quad G:=\langle\varphi_v,\varphi_v\rangle$ 建立两个任意两个切向量$w$和$w^{'}$： $w=a\varphi_u+b\varphi_v,\quad w^{\prime}=a^{\prime}\varphi_u+b^{\prime}\varphi_v$ 将$E$，$F$，$G$带入$Gram$行列式计算$\langle w,w^{'} \rangle$，得到切空间$T_p(S)$的内积结构：

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验证内积空间公理

对称性：

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双线性性 $\langle w_1 + w_2, w' \rangle = \langle w_1, w' \rangle + \langle w_2, w' \rangle$ $\langle \lambda w, w' \rangle = \lambda \langle w, w' \rangle$

正定性：

这个性质稍后证明。

因此，这个定义构成了 $T_p(S)$ 上的一个良好的内积空间结构。

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推导第一基本形式

将曲面上面的内积结构用微分形式表达： 考虑切平面上任意切向量微分：

这个结构和切平面上向量结构是一致的： $w=a\varphi_u+b\varphi_v,\quad w^{\prime}=a^{\prime}\varphi_u+b^{\prime}\varphi_v$

将全微分带入内积公式中，得到微小位移的长度平方：

这是曲面的第一基本形式，记作：

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第一基本形式的张量写法：

$g_{ij}$被称为参数坐标系的度量矩阵，我将u,v换成了张量中的u,i,j指标。u是固定指标，i,j是哑指标，取值为1,2。

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证明第一基本形式与参数坐标系无关

给定条件

给定曲面$S$的两个参数化：

• 在 $U$ 中的参数为：$(u^1, u^2)$，对应映射为 $\varphi(u^1,u^2)$
• 在 $V$ 中的参数为：$(v^1, v^2)$，对应映射为 $\psi(v^1,v^2)$ 给定映射链：

$u(v)$这个映射一定存在

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定义两组参数化下的第一基本形式

在 $(u^1, u^2)$ 坐标系下，第一基本形式：

其中 $du = \begin{bmatrix} du^1 \ du^2 \end{bmatrix}$，$G(u)$ 是 $2 \times 2$ 对称矩阵:

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在 $(v^1, v^2)$ 坐标系下，第一基本形式为：

其中 $dv = \begin{bmatrix} dv^1 \ dv^2 \end{bmatrix}$，$G'(v)$ 是 $\psi(v)$ 的第一基本形式矩阵：

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证明目标

• 构造复合映射 $\psi(v) = \varphi(u(v))$ 在向量空间中链式法则的矩阵形式
• 带入基本形式$I,I^{'}$

构造参数变换的雅可比矩阵

从映射链开始：

链式法则矩阵形式：

第一基本形式矩阵 $G(v)$：

$(AB)^{\top} =B^{\top}A^{\top}$

得到等式:

代入：

得到：

第一基本形式的正定性

第一基本形式是正定的。

使用代数方法证明 只需要将各个分量带入$G$矩阵中就能得到正定性质

设曲面参数化为 $\varphi(u^1, u^2)$，第一基本形式为：

其中：

• $E = \langle \varphi_{u^1}, \varphi_{u^1} \rangle$
• $F = \langle \varphi_{u^1}, \varphi_{u^2} \rangle$
• $G = \langle \varphi_{u^2}, \varphi_{u^2} \rangle$ 写成矩阵形式为：

需要证明该矩阵是对称正定的，即对于任意非零向量 $\delta u = (\delta u^1, \delta u^2)^\top \neq 0$，有：

根据线性代数中 $2\times 2$ 对称矩阵正定性的判别法，$G$ 正定当且仅当满足： 1. $E > 0$ 2. $\det(G) = EG - F^2 > 0$ 由于$\varphi$是正则参数化，有 $\varphi_{u^i} \neq 0$，$\varphi_{u^1}, \varphi_{u^2}$ 线性无关：

• 所以 $E = \langle \varphi_{u^1}, \varphi_{u^1} \rangle > 0$
• 其次，$EG - F^2$ 是 $\varphi_{u^1}, \varphi_{u^2}$ 构成的 $Gram$ 行列式，在线性无关时必有 $EG - F^2 > 0$ 因此矩阵 $G$ 为正定。 结论：

第一基本形式

1. 定义

第一基本形式的系数为：

2. 矩阵表达

第一基本形式的矩阵为：

3. 张量表达

第一基本形式的张量形式为：

其中：

4. 几何意义

• 定义内积：$\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = g_{ij} v^i w^j$。
• 计算弧长：$ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$。
• 计算面积：$dA = \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv$。

5. 总结

• 第一基本形式描述了曲面的内蕴几何。
• 矩阵表达：$I = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$。
• 张量表达：$ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$。