位姿线性变换与坐标变换位姿、线性变换与坐标变换位姿、线性变换、坐标变换其实是同一个矩阵 $^A_BT$ 在不同视角下的

位姿、线性变换与坐标变换

位姿、线性变换、坐标变换其实是同一个矩阵 $^A_BT$ 在不同视角下的名字。内旋、外旋、左乘、右乘容易混淆，是因为缺少科学的符号。一旦问题复杂，直观和直觉靠不住，只能靠代数符号推理。

为了简化符号，数学上经常会用同一个符号来表示能够相互确定的一组对象，比如：

A 可能指：{参考系、参考系的一组基、基张成的列空间、参考系的矩阵、一个线性变换、线性变换对应的矩阵}。

但在具体场景下，A只可能是其中的一个。

例如：

$^A_BT = A^{-1}B$ 中左边的A是参考系，右边的A是矩阵，两者可以相互确定。
$P_2 = AP_1$ 中的A是矩阵， $P_2 = A(P_1)$ 中的A是线性变换，大多数情况无需区分。

$^A_BT$ 有三个含义（矩阵形式一样，能相互确定）：

P1: B系在A系中的位姿（姿态矩阵）
P2: A系到B系的过渡矩阵（用于坐标变换）
P3: A系到B系的运动算子作用（用于线性变换）

约定

P1: A, B, C 是空间中的参考系或其标准正交基，或正交基对应的矩阵。
T, R, M 是线性变换或其矩阵。
$^A T$ 特指A系中的线性变换或其矩阵。
P, $P_1$ , $P_2$ 是与参考系无关的点。
$^A P$ 是点P在A系中的坐标列向量。
符号左上角和左下角是两个参考系。
P2: $[a_1, a_2, ..., a_n]$ 是A系的基， $[b_1, b_2, ..., b_n]$ 是B系的基， $a_j$ 和 $b_j$ 都是n维列向量。一个坐标系可以用它的基表示，故 $A=[a_1, ..., a_n]$ ， $B=[b_1, ..., b_n]$ 。 $a_j$ 和 $b_j$ 的表示依赖世界系 $[e_1, ..., e_n]$ 。
P3: $^A P$ 是点P在A系中的齐次坐标 $^A [P_x, P_y, P_z, 1]^T$ 或欧式坐标 $^A [P_x, P_y, P_z]^T$ ，根据上下文区分。
P4: $^A T$ 是A系中的线性变换，满足 $^A P_2 = ^A T \cdot ^A P_1$ （即把 $P_1$ 变换到 $P_2$ ）。
P5: $^{\mathbf{A}}_{\mathbf{B}}\mathbf{T}$ 是B系在A系中的位姿，指系B每个基在A系的坐标表示，即：

$[b_1, ..., b_n] = [a_1, ..., a_n] \cdot {^A_BT}$

$^A_BT = A^{-1}B$

$^B_AT = B^{-1}A$

$^A_BT \cdot ^B_AT = I$
P6: 常用线性变换用“作用”描述，如拉伸、旋转、平移、镜像、透视，抽象线性变换只能用矩阵描述。
P7: 作用M是线性变换，M乘点是对点变换，M乘矩阵可看作对多个点变换，也可看作对坐标系变换。
P8: 线性变换M在A系的矩阵 $^A M$ 与在B系的矩阵 $^B M$ 是相似矩阵。

$^A P_2 = ^A M ^A P_1$

$^B P_2 = ^B M ^B P_1$

$^B P_2 = ^B_AT \ ^A M \ ^A_BT \ ^B P_1$

$^B M = ^B_AT \ ^A M \ ^A_BT = ^B_AT \ ^A M \ (^B_AT)^{-1}$

定理1：坐标变换定理

$^A P = ^A_BT \ ^B P$

坐标变换定理描述了同一个点P在两个系中的关系。

$B = [b_1, ..., b_n] = [a_1, ..., a_n] C = AC$ ，C是过渡矩阵
$^A P = [p_1, ..., p_n]^T$ ， $^B P = [p_1', ..., p_n']^T$ ， $P = A ^A P = B ^B P = AC ^B P$
$^A P = C ^B P$ ，C就是 $^A_BT$
若A取 $I=[e_1, ..., e_n]$ ，则 $B = C = ^A_BT$

定理2：线性变换定理

$^A P_2 = ^A_BT \ ^A P_1$

令 $^A P_2 = M ^A P_1$

线性变换定理描述了在同一个系中两个点的关系（线性变换的特点是左上角在一个系中）。

M 产生的作用就是A系到B系的作用，B系是假想出来的， $P_1$ 跟随B系一起运动到达 $P_2$ 。

$P_2$ 在B系的坐标和 $P_1$ 在A系的坐标一样，假定为 $V= [v_1, ..., v_n]^T$ 。

即有：

$^B P_2 = ^A P_1 = V$
$P_1 = A ^A P_1 = AV$
$P_2 = B ^B P_2 = BV$
$^A P_2 = M ^A P_1 = ^A_BT \ ^B P_2 = ^A_BT \ ^A P_1$

故 $M = ^A_BT$

定理3：链式变换定理

$^A_CT = ^A_BT \ ^B_CT$

不同解释延伸出有趣的内外旋定理。

$^A P = ^A_BT ^B P = ^A_CT ^C P$
$^B P = ^B_CT ^C P$
$^A P = ^A_BT ^B_CT ^C P = ^A_CT ^C P$
$^A_BT ^B_CT = ^A_CT$

定理4：内外旋定理

该定理源于 $^A_CT = ^A_BT ^B_CT$ 的两种解释。

本地系的作用是内旋用右乘。
世界系作用是外旋用左乘。

达到上图状态有两种方式：

方式1：运动系，内旋，右乘

ABC重合
BC相对A运动 $^A_BT$
C相对B运动 $^B_CT$
$^A_CT = ^A_BT ^B_CT$ ，即先 $^A_BT$ 作用，后 $^B_CT$ 作用，都是相对运动系作用。

方式2：世界系，外旋，左乘

ABC重合
C相对AB运动 $^B_CT$
BC相对A运动 $^A_BT$
$^A_CT = ^A_BT ^B_CT$ ，即先 $^B_CT$ 作用，后 $^A_BT$ 作用，都是相对世界系作用。

例1：平面上绕点 $(x, y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 的线性变换 $M$

A系为世界系
B系由A系平移到 $(x, y)$ 得到
C系由B系逆时针旋转 $\theta$ 得到
$P_1$ 绕B系原点逆时针旋转 $\theta$ 到达 $P_2$ ，求在A系中 $P_1$ 到 $P_2$ 的线性变换 $M$ ，即 $^A M$

^A P_1 = ^A_BT ^B_CT ^C P_1

^A P_2 = ^A_BT ^B_CT ^C P_2

^C P_2 = ^B_CT ^C P_1

^A P_2 = M ^A P_1

联立上式可解得 $M = ^A_BT ^B_CT ^B_AT$ ，可见 $M$ 与 $^B_CT$ 是相似阵。

这是因为绕 $(x, y)$ 旋转 $\theta$ 这个线性变换在A系中的矩阵是 $M$ ，在B系中的矩阵是 $^B_CT$ ，线性变换在不同基中的矩阵是相似阵。将

{^A_B}\mathbf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

{^B_C}\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

{^B_A}\mathbf{T} = \left( {^A_B}\mathbf{T} \right)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}

带入上式得到：

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & (1 - \cos\theta)x + \sin\theta\, y \\ \sin\theta & \cos\theta & -\sin\theta\, x + (1 - \cos\theta)y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

其中 $\mathbf{M}$ 表示在世界系下，绕点 $(x, y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 的齐次变换矩阵。

例2：三维空间中绕定轴 $k$ 旋转 $\theta$ 的线性变换 $M$

$k$ 为定轴方向矢量，作用 $M$ 是将点绕 $k$ 轴旋转 $\theta$
A为世界系
A'、B' 的z轴与 $k$ 重合
B系由A系绕 $k$ 轴旋转 $\theta$ 得到，B'由A'绕 $k$ 轴旋转 $\theta$ 得到
B系在A系中的位姿就是 $M = ^A_BR$

当 $\theta=0$ 时，A与B重合，A'与B'重合， $M$ 作用于A和A'得到B和B'。

$B = M(A) = MA$ （M把A系变成B系）

$B' = M(A') = MA'$

$B^{-1}B' = (MA)^{-1}MA' = A^{-1}A'$

$^A_{A'}R = ^B_{B'}R = [n, o, k]$ （k为定轴，n和o可略去）

A为世界系，A'在A中的位姿为 $[n, o, k]$

位姿线性变换与坐标变换