高斯代数基本定理的一种证明代数基本定理对于多项式 $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1}

代数基本定理

对于多项式 $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ （其中 $n > 1$ 且 $a_n, a_0 \neq 0$ ），它在复数域内有根。

f(z) = U(r, \theta) + V(r, \theta)i

其中 $r$ 和 $\theta$ 分别是 $z$ 的模和幅角。

\begin{align*} r\frac{\partial U}{\partial r} &= \frac{\partial V}{\partial \theta} \\ r\frac{\partial V}{\partial r} &= -\frac{\partial U}{\partial \theta} \end{align*}

H(r, \theta) = \arctan\left(\frac{U(r, \theta)}{V(r, \theta)}\right)

\frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\frac{\partial U}{\partial \theta}V - U\frac{\partial V}{\partial \theta}}{V^2 + U^2} \right)

I_1 = \int_{0}^{R} dr \int_{0}^{2\pi} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} d\theta, \quad I_2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} dr

假设 $f(z)$ 无根，则 $U^2 + V^2 \neq 0$ ，从而 $\frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta}$ 连续，积分顺序可交换，并且 $I_1 = I_2$ 。

\int_{0}^{2\pi} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} d\theta = 0 \implies I_1 = 0

I_2 = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \frac{\partial^2 H}{\partial r \partial \theta} dr = \int_{0}^{2\pi} d\theta \left( \left. \frac{\partial H}{\partial \theta} \right|_{r=0}^{r=R} \right) = -2\pi n

由于 $I_1 \neq I_2$ ，存在 $r_m, \theta_m$ 使得 $U^2(r_m, \theta_m) + V^2(r_m, \theta_m) = 0$ ，即存在某个 $z_m = r_m e^{i\theta_m}$ 使得 $f(z_m) = 0$ 。