代数基本定理最简短的证明代数基本定理多项式 $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \

代数基本定理

多项式 $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ （其中 $n > 1$ 且 $a_n, a_0 \neq 0$ ）在复数域内有根。

假设 $f(z)$ 在复数域内无根，即对于所有 $z \in \mathbb{C}$ ，都有 $f(z) \neq 0$ 。因此， $|f(z)| > 0$ 对于所有 $z \in \mathbb{C}$ 成立。

由于 $|f(z)|$ 是整个复平面上的连续函数，并且 $\lim_{z \to \infty } |f(z)|=+ \infty$ ，根据极值定理， $|f(z)|$ 在 $\mathbb{C}$ 上存在最小值。设 $z_0$ 是使得 $|f(z_0)|$ 取得最小值 $s$ 的点，即：

s = \min_{z \in \mathbb{C}} |f(z)| = |f(z_0)|

令 $f(z_0) = s e^{i\theta_0}$ 。定义新多项式 $g(z) = f(z + z_0) e^{-i\theta_0}$ 。则有：

g(0) = f(z_0) e^{-i\theta_0} = s

且 $g(z)$ 是一个在 $z = 0$ 处使得 $|g(z)|$ 取得最小值 $s$ 的多项式。

将 $g(z)$ 展开为：

g(z) = b_n z^n + b_{n-1} z^{n-1} + \cdots + b_k z^k + s

其中 $b_k \neq 0$ 且 $k \geq 1$ （因为 $g(z)$ 是一个多项式，且 $g(0) = s$ ）。

令 $b_k = |b_k| e^{i\theta_k}$ 。考虑 $w$ 使得 $w = re^{i\theta}$ 且 $r$ 是一个很小的正实数。则：

g(w) = s + |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)} + h(r) r^{k+1}

其中 $h(r)$ 是一个关于 $r$ 的多项式。

令\ M = \max_{r\in(0,1]}|h(r)| \ge 0

当 $r \to 0^+$ 时：

|g(w)|= |s +h(r)r^{k+1}+ |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)}|\le|s+ |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)}|+Mr^{k+1}

选择 $\theta = -\frac{\theta_k}{k} - \frac{\pi}{k}$ ，则：

k\theta + \theta_k = -\pi

因此：

|g(w)| \le s - |b_k| r^k+Mr^{k+1} < s

这与 $|g(z)|$ 在 $z=0$ 处取得最小值 $s$ 矛盾。