电枢公式简化

电枢公式

语雀电枢公式

同绕关系 是 同余关系 类比而来的

同余关系 : 余数一样的一堆数 具有 同余关系

同绕关系 : 最大公约数一样的一堆数 具有同绕关系

根据方程 x=nt+k 可以找出, 模n下, 所有与k同余的数

同样 根据 如下的电枢公式, 可以找出, 模n下, 所有 与k同绕的数

同绕关系

$\left ( |\frac{k}{n} \right )=\{x|(n,x)=(n,k)∧x<n\}$

电枢公式解决的问题 (在12槽电枢中)

P1: 为什么3与9是同绕的?为什么4与8是同绕的?是什么性质让他们是同绕的? P2: 为什么5是全可达的? P3: 是不是质数都是全可达的？ P4: 哪些绕法能绕到8? P5: 有几种绕法能绕到8? P6: 有几种绕法与8是同绕的? P7: 与8不同绕的绕法能不能绕到8? P8: 用8最少绕几次能回到起点? P9: 8能绕到的最小数是多少? P10: 8绕多少次能绕到这个最小绕数? P11: 8 能不能绕到1? P12: 11绕几次能绕到1? P13: 哪些绕法能绕到1? P14: 为什么建议齿轮间的齿数尽量互质? P15: 绕法8第一次回到起点后,共绕了几圈? P16: 未来是否存在周三的国庆节

P17: 多个整升容量的桶如何倒出指定升数的水

P18：多个齿轮卡合后有多少状态

相关概念

P1: $\left ( |\frac{k}{n} \right )$ (k的同绕类) P2 : (|n) （n的绕法集） P3： k （绕法k） P4： $k_0$ （绕法k的最小绕数） P5： $k_1$ （绕法k的最小盖数） P6： $|k|$ （绕法k的阶） P7： $k^{-1}$ （绕法k的逆） P8: $|k|_s$ ( 绕法k对槽s的阶） P9: $k_q$ ( 绕法k的商） P10: $k_r$ ( 绕法k的余数） P11： k+m (绕k空m的绕法)

定理

电枢公式

$\left ( |\frac{k}{n} \right ) =(n,k)*\left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} } \right )$

齐次性

$a\left ( |\frac{k}{n }\right)=\left ( |\frac{ak}{an}\right)$

线性

$a(\left ( |\frac{k_1}{n_1 }\right)+\left ( |\frac{k_2}{n_2}\right))=a\left ( |\frac{k_1}{n_1}\right)+a\left ( |\frac{k_2}{n_2}\right)$

定理1.6

$(|a|,|b|)=1 ⇒ |a+b|=|a|*|b|$

定理1.7

$n槽电枢,n=ks，则k=k_0,s=s_0,|k|=s,|s|=k$

定理2

$(|\frac{1}{p^{k}})=Np^{k}-pNp^{k-1}$

定理3

$素数p,(a,p)=1 \longrightarrow \left ( |\frac{a}{ap}\right )=a N_p$

定理4

$\left ( |\frac{1}{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}} \right ) =N{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}-\bigcup_{i=1}^{t}p_i *N{ p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_i^{\alpha i-1}...p_t^{\alpha t}}}$

定理4.2

若 a,b 为素数 则 $\left ( |\frac{1}{ab} \right )=b\left ( |\frac{1}{a} \right ) +a\left ( |\frac{1}{b} \right ) = N_{ab}-(b\left ( |\frac{1}{a} \right ) \bigcup a\left ( |\frac{1}{b} \right ))$ a,b为素数时, 并和U 与 笛卡尔和+ 对函数$z=x\left ( |\frac{1}{y} \right )$的轮换和 关于 $N_{ab}$ 互补

定理5

$|\left ( |\frac{1}{ p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}} \right )| =p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}\prod_{i=1}^{t}(1-\frac{1}{p_i} )$

定理6

$|k|=\frac{n}{(n,k)}$

定理6.2

$n1,n2,...ns, s个齿轮两两卡合，则总状态数为[n1,n2,...,ns]$

定理11

$\left ( |\frac{k}{n} \right )=\left ( |\frac{n-k}{n} \right )$

抽象电枢公式

集合 $F$ 上的二元函数 $f$，如果满足以下三个条件，则可得到相对应的抽象电枢公式 $\langle F, f, n, 1 \rangle$。 其中，二元函数 $f$ 称为抽象电枢函数，$n$ 与 $1$ 是 $F$ 中的特异元素，由抽象电枢函数 $f(n, x)$ 生成的等价关系称为抽象同绕关系。

1. 齐次性：
   $$k f(x, y) = f(kx, ky)$$
2. 左吸收-----特异元1：
   $$f(y, 1) = 1$$
3. 唯一性-----特异元n： 对于 $\forall n, k \in F$，存在唯一的 $q \in F$，使得：
   $$n = q \cdot f(n, k)$$

同理可定义对应的同绕集：

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