代数基本定理

代数基本定理

多项式 $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$（其中 $n > 1$ 且 $a_n,a_0 \neq 0$）在复数域内有根。

约定

以 $t$ 为参数的闭曲线

其中 $\Gamma_0 \to a_0$。

闭曲线到点 $p$ 的距离

符号函数 $sign(t)$

介值函数

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证明步骤

1. 多项式的性质

给定的多项式为：

其中 $n > 1$ 且 $a_n,a_0 \neq 0$。

2. $d(\Gamma_t, 0)$ 的连续性

• 多项式的连续性：由于 $f(z)$ 是多项式函数，它在复平面上是解析的，因此也是连续的。
• 最小值的连续性：由于 $f(t e^{i\theta})$ 关于 $(t, \theta)$ 是连续的，其模长 $|f(t e^{i\theta})|$ 也是连续的。因此，$d(\Gamma_t, 0)$ 作为 $|f(t e^{i\theta})|$ 在闭区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值，关于 $t$ 是连续的。

3. $s(t)$ 的连续性

• 符号函数的定义：$sign(t)$ 的定义基于原点与 $\Gamma_t$ 的相对位置。
• 连续性分析：当 $d(\Gamma_t, 0) = 0$ 时，原点在 $\Gamma_t$ 上，此时 $sign(t) = 0$，因此 $s(t) = 0$。当 $d(\Gamma_t, 0) \neq 0$ 时，原点在 $\Gamma_t$ 的内部或外部，此时 $sign(t)$ 为 $-1$ 或 $1$。由于 $d(\Gamma_t, 0)$ 是连续的，且 $sign(t)$ 的变化发生在 $d(\Gamma_t, 0) = 0$ 的点，因此 $s(t)$ 是连续的。

4. $s(0)$ 的值

• 当 $t = 0$ 时，$\Gamma_0 = f(0) = a_0$，因此：
  $$d(\Gamma_0, 0) = |a_0|$$
• 由于 $\Gamma_0$ 是一个点，且 $|a_0| \neq 0$，因此原点在 $\Gamma_0$ 的外部，所以 $sign(0) = -1$。
• 因此：
  $$s(0) = sign(0) \cdot d(\Gamma_0, 0) = -|a_0|$$

5. $s(t)$ 在 $t \to +\infty$ 时的行为

• 当 $t \to +\infty$ 时，多项式 $f(z)$ 的主导项是 $a_n z^n$，因此：
  $$f(t e^{i\theta}) \approx a_n (t e^{i\theta})^n = a_n t^n e^{in\theta}$$
• 从而：
  $$|f(t e^{i\theta})| \approx |a_n| t^n$$
• 由于 $n > 1$，当 $t \to +\infty$ 时，$|a_n| t^n \to +\infty$。
• 因此：
  $$d(\Gamma_t, 0) \to +\infty \quad \text{当} \quad t \to +\infty$$
• 由于 $\Gamma_t$ 在 $t \to +\infty$ 时远离原点，因此 $sign(t) = 1$。
• 因此：
  $$s(t) \to +\infty \quad \text{当} \quad t \to +\infty$$

6. 介值定理的应用

• 由于 $s(t)$ 是连续函数，且 $s(0) = -|a_0| < 0$，$s(t) \to +\infty$ 当 $t \to +\infty$，根据介值定理，必然存在某个 $t_m \in (0, +\infty)$ 使得：
  $$s(t_m) = 0$$

7. 结论

• 由于 $s(t_m) = 0$，这意味着在半径为 $t_m$ 的圆上，存在某个 $z_m = t_m e^{i\theta_m}$ 使得 $f(z_m) = 0$。