斐波那契数（快速幂计算的推理过程）

算法题目: 509. 斐波那契数

文章中存在些许公式，建议 PC 端打开观感更佳

思路

方阵（行列数相等的矩阵）快速幂

解题过程

1. 解析斐波那契数列

   • 已知斐波那契数列：

     $$F(n)= \begin{cases} \ n, &当\ n\ <\ 2\\[2ex] F(n-1)+F(n-2), &当\ n\ >=\ 2 \end{cases}$$

   • 我们分析$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$部分，根据表达式我们可以得到：

     $$\begin{bmatrix} F(n) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix}$$

   • 通过上述的分析结果，如果想要实现递推，则需要将左右部分演化为相同的规则：

     $$即 \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix} 的关系$$

   • 很简单的计算出：$F(n-1)=1*F(n-1)+0*F(n-2)$

     $$即 \begin{bmatrix} F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix}$$

   • 所以可以得出：

     $$\begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix}$$

   • 可以递推出公式：

     $$\begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}... \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(1) \\ F(0) \\ \end{bmatrix}$$

   • 相当于需要计算$M^{n-1}$，其中方阵$M$为：

     $$M=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
2. 快速幂的计算方式
   • 假设计算$a^n$，令$m$为$n$使用二进制表示的最高有效位
   • 已知$n>>k$为右移操作，且$n\ \&\ 1=1$时表示最低位为$1$
   • 所以如果$(n>>k)\ \&\ 1=1$则表示第$k+1$位为1，否则为$0$
   • 则：
     $$\begin{align} n & =(n\ \&\ 1)*2^0+((n>>1)\ \&\ 1)*2^1+...+((n>>m)\ \&\ 1)*2^m\\ a^n & =a^{(n\ \&\ 1)*2^0+((n>>1)\ \&\ 1)*2^1+...+((n>>m)\ \&\ 1)*2^m} \\ a^n & =a^{(n\ \&\ 1)*2^0}*a^{((n>>1)\ \&\ 1)*2^1}*...*a^{((n>>m)\ \&\ 1)*2^m} \\ \end{align}$$
   • 继续对计算进行拆分
     • 根据上述公式可以得出：$a^n=S_m=\mathop{\prod}\limits_{i=0}^m {a^{((n>>i)\ \&\ 1)*2^i}}$
     • 当$(n>>i)\ \&\ 1=0$，则$S_i=S_{i-1}$
     • 当$(n>>i)\ \&\ 1=1$，则$S_i=S_{i-1}*a^{2^i}$
     • 其中$a^{2^i}$为当前项，所以只需要每次迭代完计算下一项即可：
       • 初始时第一项为 $a^{2^{0}}$，即$a$自身，所以$A_0=a$
       • 计算$a^{2^{i+1}}=a^{2^{i}*2}=(a^{2^{i}})^2$，即$A_{i+1}=A_i*A_i$
     • 定义迭代初始值：以本题为例，则为$2*2$的单位矩阵（对角线全为$1$其余全为$0$的矩阵），因为单位矩阵乘以相同行列的方阵结果为对应的方阵，即：
       $$S_{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
     • 以$n>>i$作为是否合法的条件进行迭代：
       • 计算当前迭代值：
         • 当$((n>>i)\ \&\ 1=1$，则$S_i=S_{i-1}*A_i$
       • 计算下一项的值：$A_{i+1}=A_i*A_i$
       • i++，不过可以直接通过n >>= 1修改$n$，同时将判断条件也换为$n$

复杂度

• 时间复杂度: $O(log\ n)$
• 空间复杂度: $O(1)$

// 快速幂 Exponentiation by Squaring
class EBS {
  result = null;
  constructor() {
    if (new.target === EBS) {
      throw Error("请使用派生类");
    }
  }
  init() {
    throw Error("请重写init方法");
  }
  multiply() {
    throw Error("请重写multiply方法");
  }
  calculate(a, n) {
    // 获取单位值：数字为1，矩阵则为单位矩阵
    // 单位矩阵需要手动设置方阵的阶数
    let result = this.result === null ? this.init() : this.result;
    while (n) {
      if (n & 1) {
        result = this.multiply(result, a);
      }
      n >>= 1;
      a = this.multiply(a, a);
    }
    return (this.result = result);
  }
}

// 方阵（行列数相等的矩阵）快速幂
class MatrixEBS extends EBS {
  #max = 0;
  #initArray() {
    return new Array(this.#max).fill(0).map(() => new Array(this.#max).fill(0));
  }
  // 定义单位矩阵：即对角线全为1其余全为0的矩阵
  init(max) {
    this.#max = max;
    const result = this.#initArray();
    for (let n = 0; n < max; n++) result[n][n] = 1;
    return (this.result = result);
  }
  // 计算a*b：方阵a和b为相同的行列数
  multiply(a, b) {
    const c = this.#initArray();
    const max = this.#max;
    for (let i = 0; i < max; i++) {
      for (let j = 0; j < max; j++) {
        let sums = 0;
        for (let k = 0; k < max; k++) {
          sums += a[i][k] * b[k][j];
        }
        c[i][j] = sums;
      }
    }
    return c;
  }
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var fib = function (n) {
  if (n <= 1) return n;
  // 先计算 [[1, 1], [1, 0]] 的 n-1 次幂
  const ebs = new MatrixEBS();
  const M = [
    [1, 1],
    [1, 0],
  ];
  ebs.init(M.length);
  const result = ebs.calculate(M, n - 1);
  // 再乘以[[1], [0]]，相当于直接取其第一行第一列的值
  return result[0][0];
};