最大子数组合
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组是数组中的一个连续部分。 示例 1：
输入： nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入： nums = [1]
输出： 1
示例 3：
输入： nums = [5,4,-1,7,8]
输出： 23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
对于此类题目，使用于动态规划。先来讲讲动态规划的解题步骤。
动态规划
- 如何判断一个题目是否可以使用动态规划解决？
- 对于动态规划问题该从何处入手，具体的解题步骤？
问题判断
一般来说，题目中如果含有最优子结构、重叠子问题、无后效性；那么这就适合用动态规划来求解。不过一般我们很难从问题的描述中直接提取这些特性，因此我们可以放宽条件，先观察问题是否适合使用回溯解决
而回溯一般满足于决策树模型，可以用树来表达，树的节点就是一个决策，而每一条路径就代表一个决策序列。换句话说，如果一个问题包含明确的决策概念，而且解是通过一系列决策产生的，那么他就满足决策树模型，可以用回溯来解决。
‘加分项’
- 问题中包含了最大（小）或最多（少）等最优描述
- 问题的状态可以用数组、多维矩阵、树来描述，并且自身与周围的状态存在递推关系
‘减分项’ - 问题注重的是解决问题的方案，而不是最优解。
- 问题有明显的排列组合特征，返回的是多种解决方案。
问题解题步骤
我从代码随想录中学到的dp五部曲；
- dp[i]的含义
- 递归公式
- dp初始化
- 遍历顺序
- 打印数组
我认为前三步最为重要，只有明白了dp所代表的含义，才能进行下一步操作；将不确定的因素确定下来，进而把子问题描述清楚，把子问题描述的简单。
其次是递归公式，这一步是解题的关键，也是【状态转移方程】。只有将子问题之间的联系描述清楚了才能完成递归公式，这一步也是最难的。第三步就是思考初始值。
以这个题目为例：最大子数组合
找出一个具有最大和的连续子数组； '最大和且连续' 状态用的是数组，很符合动态规划来解决问题
这是一道典型的使用「动态规划」解决的问题，需要我们掌握动态规划问题设计状态的技巧（无后效性），并且需要知道如何推导状态转移方程，最后再去优化空间。
关键步骤
1.理解题意
题目要我们找出最大的连续子数组，这个连续很重要，而不是子序列，同时要求返回的是结果，而不是求最大的子数组是哪一个，这个就是无后效性
2.如何定义子问题（定义状态）
刚开始做题的时候有点无从下笔的感觉，因为太多种可能了，没有头绪。后来慢慢想，我们要求的是最大子数组，我们不知道最大连续子数组一定会选取哪个数？ 但是可以换条思路：可以求出所有经过这个子数组最大和。
例如：
nums = [5,4,-1,7,8]
经过5的最大连续子数组是什么？
经过4的最大连续子数组是什么？
·····
但是你会发现，这些问题之间的联系好像不明确，这是因为 子问题的描述还有不确定的地方 也就是无后效性，什么是无后效性？就是当前状态只与现在有关，与过去的所有状态都不搭嘎。 如果之前的阶段求解的子问题的结果包含了一些不确定的信息，导致了后面的阶段求解的子问题无法得到，或者很难得到，这叫「有后效性」，我们在当前这个问题第 1 次拆分的子问题就是「有后效性」的
经过5，那么这个5是子数组中的哪一个数呢？不确定，反过来如果要无后效性，是不是可以变成子数组的最后一个数呢？这样就不会存在不确定了。
nums = [5,4,-1,7,8]
以5为最后一位的子数组的最大和是多少？
以4为最后一位的子数组的最大和是多少？
······
这样一看，是不是两个之间是有联系了？ 经过某个数且这个数且在最后一位。
那么我们就可以开始第二步，递归公式（状态转移方程）。
因为-104 <= nums[i] <= 104；有负有正，自身关系与周围有着递进关系，这个时候就需要分类讨论了；
先假设：4是最后一位数，他的前一位是5；如果>0,就可以加入到以4结尾的子数组中；但如果<=0,这就没必要加入进来了，这样以4为结尾的子数组反而会更小；
这样我们就可以推导出：
递推公式有了：dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i],nums[i])
接下来就是初始化dp；
因为最大连续子数组，那么肯定最初就只有第一位： dp[0] = nums[0]；
接着就是遍历顺序
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
int dp[0] = nums[0];
int max = nums[0];
for (int i=1 ; i<nums.length;i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i],nums[i]);
max = Math.max(max,dp[i]);
}
return max;
}
}
时间复杂度：O(N) ，这里 N 是输入数组的长度。
优化空间后的代码
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre =0;
int res = nums[0];
for (int num : nums) {
pre = Math.max(pre + num, num);
res = Math.max(res, pre);
}
return res;
}
}
时间复杂度：O(N) ，这里 N 是输入数组的长度。
