我们来系统性地对比计算机中表示有符号整数的三种主要方式：原码（Sign-Magnitude）、反码（Ones' Complement） 和 补码（Two's Complement）。重点理解它们的差异以及为什么补码最终成为标准。
- 原码（Sign-Magnitude）：最高位表示符号，其余位表示数值大小（已被淘汰）。
- 反码（Ones' Complement）：负数的符号位不变，其他位取反（仍存在±0问题，效率低）。
- 补码（Two's Complement）：当前通用标准，是现代计算机的基石。
核心概念对比
| 特征 | 原码 (Sign-Magnitude) | 反码 (Ones' Complement) | 补码 (Two's Complement) |
|---|---|---|---|
| 表示规则 | 最高位 = 符号位 (0: 正, 1: 负) 剩余位 = 绝对值二进制 | 最高位 = 符号位 正数：同原码 负数：符号位不变，数值位按位取反 | 最高位 = 符号位 正数（含0）：同原码 负数：其绝对值的原码 取反 + 1 |
| 0 的表示 | 两种表示： +0：0000 0000 -0：1000 0000 ❌ (浪费一个状态) | 两种表示： +0：0000 0000 -0：1111 1111 ❌ (浪费一个状态) | 唯一表示： 0：0000 0000 ✅ (状态利用率高) |
| 取值范围 (8位) | -127 到 +127 (-2^7+1 到 +2^7-1) | -127 到 +127 (-2^7+1 到 +2^7-1) | -128 到 +127 (-2^7 到 +2^7-1) ✅ (范围更大) |
| 最小负数 (8位) | -127 (1000 0000 → 特殊 -0, 通常 1111 1111 = -127) | -127 (1000 0000) | -128 (1000 0000) ✅ |
| 运算逻辑 | 复杂！需判断符号位 同号相加：数值相加，符号不变 异号相加：数值相减，结果取绝对值大者符号 | 相对简单但仍需处理循环进位 加法直接进行， 但若最高位产生进位，需将进位 加回到最低位 (称为 "end-around carry") | 最简单高效！ 加法/减法统一 A + B：直接加 A - B = A + (-B) (-B为B的补码) 忽略最高位进位 ✅ |
| 硬件实现难度 | 最高 (需要复杂的符号位逻辑和大小比较器) | 中等 (需要处理循环进位) | 最低 (只需标准二进制加法器电路) ✅ |
| 优势 | 直观，人类易于理解正负 | 比原码略高效，负数表示逻辑稍自然 | 硬件简单、运算统一、无歧义零、范围更广 ✅ |
| 主要缺陷 | 运算复杂，零歧义，范围小 | 零歧义，运算仍需额外处理，范围小 | 负数表示不直观 (人类需转换计算) |
| 实际应用 | 基本淘汰 (IEEE 754浮点数标准中 符号位 部分是其仅存遗迹) | 基本淘汰 | 现代计算机整数运算的唯一标准 ✅ |
关键差异详解与示例 (8位系统)
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表示规则 & 0 的表示：
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原码：
+5：0(符号)000 0101(绝对值) →0000 0101-5：1(符号)000 0101(绝对值) →1000 0101+0：0000 0000,-0：1000 0000❌
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反码：
+5：同原码 →0000 0101-5：符号位1(1000 0000)，数值位绝对值000 0101取反 →111 1010→1111 1010+0：0000 0000,-0：数值位全取反 →1111 1111❌
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补码：
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+5：同原码 →0000 0101 -
-5：计算-5+5原码：0000 0101- 取反：
1111 1010 - 加 1：
1111 1011✅
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0：唯一0000 0000✅
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范围 & 最小负数：
- 原码/反码： 最大正数
0111 1111=127, 最小负数1111 1111=-127(原码) /1000 0000=-127(反码)。无法表示-128。 - 补码： 最大正数
0111 1111=127, **最小负数1000 0000=-128** ✅。这个值是特殊约定的（不能通过常规“取反+1”得到+128，因为+128超出正数范围）。
- 原码/反码： 最大正数
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**运算对比：
5 + (-3)**-
原码 (复杂)：
5：0000 0101,-3：1000 0011(符号相反！)- 比较绝对值 |5| > |3| → 结果为正（符号
0） - 数值部分相减：
000 0101-000 0011=000 0010 - 最终结果：
0000 0010(+2) ✅ - 过程繁琐，需要符号判断和比较器。
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反码：
5：0000 0101-3：符号位不变，数值位取反 →1111 1100- 直接相加：
0000 0101+1111 1100=1 0000 0001(产生进位) - 循环进位：将最高位进位
1加回最低位 →0000 0001+1=0000 0010(+2) ✅ - 需要额外处理进位。
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补码：
5：0000 0101-3=1111 1101(计算：3=0000 0011→ 取反1111 1100→ 加11111 1101)- 直接相加：
0000 0101+1111 1101=1 0000 0010 - 忽略最高位进位 →
0000 0010(+2) ✅ - 过程最简洁，使用最普通的加法器电路。
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为什么补码最终胜出？
- 运算统一性： 加法和减法可以用完全相同的硬件电路（一个加法器）实现。这极大简化了CPU算术逻辑单元(ALU)的设计。
- 无歧义的零： 只有一个零表示，避免了冗余状态和比较时的歧义。
- 更广的数值范围： 在相同位数下，补码能表示绝对值更大的最小负数 (
-128vs-127)。 - 高效的硬件实现： 只需一个标准二进制加法器，且进位处理最简单（直接忽略最高位进位）。
- 连续表示： 所有的数（从最小负数到最大正数）在补码空间中形成一个完美的连续闭环，非常适合二进制的存储和计算。
总结记忆表格 (8位模式为例)
| 十进制 | 原码 | 反码 | 补码 (现代标准) |
|---|---|---|---|
| +127 | 0111 1111 | 0111 1111 | 0111 1111 |
| +1 | 0000 0001 | 0000 0001 | 0000 0001 |
| +0 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 |
| -0 | 1000 0000 ❌ | 1111 1111 ❌ | 不存在 ✅ |
| -1 | 1000 0001 ❌ | 1111 1110 | 1111 1111 |
| -127 | 1111 1111 ❌ | 1000 0000 | 1000 0001 |
| -128 | 无法表示 | 无法表示 | 1000 0000 ✅ |
关键结论： 理解 取反 + 1 的操作是为了构建一个高效的编码系统，使得负数的表示能与加法器无缝协作，从而简化硬件、提高速度并消除歧义。补码是工程效率战胜直观表示的经典案例。
