一、算法原理与解题思路
质因数分解是数学中的基础算法，其核心思想是将一个正整数表示为一系列质数的乘积。本算法采用试除法实现，通过逐个测试可能的因数来分解给定的数字。
二、完整代码解析（含详细注释）
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
// 质因数分解函数：返回质因数及其指数的向量
vector<pair<long long, int>> factorize(long long n) {
vector<pair<long long, int>> factors;
// 第一步：单独处理2的因子（唯一的偶质数）
if (n % 2 == 0) {
int cnt = 0;
while (n % 2 == 0) { // 循环除以2直到不能整除
n /= 2;
cnt++; // 记录2的指数
}
factors.emplace_back(2, cnt); // 保存2及其指数
}
// 第二步：处理奇数因子（从3开始，步长为2）
for (long long i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {
if (n % i == 0) { // 检查是否能整除
int cnt = 0;
while (n % i == 0) { // 循环除以当前质因数
n /= i;
cnt++; // 记录指数
}
factors.emplace_back(i, cnt); // 保存质因数及其指数
}
}
// 第三步：处理剩余的大质数（n本身就是质数的情况）
if (n > 1) {
factors.emplace_back(n, 1); // 此时n必然是个质数
}
return factors; // 返回所有质因数及其指数
}
int main() {
long long N;
cin >> N; // 输入待分解的数字
auto factors = factorize(N); // 获取质因数分解结果
bool first = true; // 标记是否是第一个输出的因数
// 格式化输出分解结果
for (const auto& [prime, exp] : factors) {
if (!first) {
cout << " * "; // 因数之间的连接符
}
first = false;
cout << prime; // 输出质因数
if (exp > 1) { // 如果指数大于1，输出指数形式
cout << "^" << exp;
}
}
cout << endl;
return 0;
}
三、关键算法优化点
- 单独处理2的因子：作为唯一的偶质数，单独处理可以提升效率
- 奇数因子检测：从3开始以步长2递增，只检查奇数
- 循环终止条件：只需检查到√n，大幅减少循环次数
- 大质数处理：最后处理n>1的情况，确保不遗漏大质数
四、常见问题解答
Q：为什么只需要检查到√n？ A：因为如果n有大于√n的因数，那么对应的另一个因数必然小于√n，所以只需要检查到√n即可。
Q：如何处理重复的质因数？ A：通过while循环连续除以相同的因数，直到不能整除为止，并记录除法执行的次数作为指数。
Q：算法的时间复杂度是多少？ A：最坏情况下是O(√n)，但对于有大量小因数的数字效率会更高。
