高中数学对数的定义、性质和一些常用技巧一、核心定义 ln(x) = logₑ(x)： ln(x) 是以 e 为底

一、核心定义

ln(x) = logₑ(x)： ln(x) 是以 e 为底，x 的对数。
与指数函数 eˣ 互为反函数：
- 这是最重要的关系！意味着：
  - ln(eˣ) = x（对所有实数 x 都成立）
  - eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x（对 x > 0 成立）
  - y = ln(x) 当且仅当 eʸ = x
定义域： x > 0（只有正实数才有自然对数）。

ln(1) = 0：因为 e⁰ = 1。
ln(e) = 1：因为 e¹ = e。
ln(ab) = ln(a) + ln(b)： 积的对数等于对数的和。
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)： 商的对数等于对数的差。
ln(aᵇ) = b * ln(a)： 幂的对数等于指数乘以底数的对数。
换底公式： ln(x) = logₐ(x) / logₐ(e)。不过因为 ln 本身底是 e，在需要换到其他底数时，常用的是 logₐ(b) = ln(b) / ln(a)。
ln(1/x) = -ln(x)：这是性质4和性质1的直接推论 (ln(1/x) = ln(1) - ln(x) = 0 - ln(x) = -ln(x))。

化简表达式：
- 使用上述基本性质合并、拆分 ln项。
- 例子：
  - ln(5x²) = ln(5) + ln(x²) = ln(5) + 2ln(x)
  - ln(10 / e) = ln(10) - ln(e) = ln(10) - 1
  - ln(√x) = ln(x^{1/2}) = (1/2) ln(x)
  - ln(e³ˣ) = 3x（直接利用反函数性质）
解方程：
- 关键利用 反函数关系 将方程两边同时作为 e 的指数 或同时取 ln。
- 例子：
  - 解 ln(x) = 3：
    - 方程两边取 e 为底： eˡⁿ⁽ˣ⁾ = e³
    - => x = e³
  - 解 2ln(x) = 1：
    - 两边除以 2： ln(x) = 1/2
    - 两边取 e 为底： x = e^{1/2} = √e
  - 解 eˣ = 7：
    - 方程两边取 ln： ln(eˣ) = ln(7)
    - => x = ln(7)
求值（利用特殊值和性质）：
- 牢记 ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(eᵏ) = k。
- 利用 ln(aᵇ) = b ln(a)，即使你不知道 ln(a) 的确切值。
- 有时需要用到其他已知值（如果题目给出或通过定义推导）。
- 例子：
  - 求 ln(e⁵) = 5
  - 求 ln(1/e²) = ln(1) - ln(e²) = 0 - 2ln(e) = 0 - 2*1 = -2
  - 求 ln(√[3]{e}) = ln(e^{1/3}) = (1/3) ln(e) = 1/3
利用等式或不等式关系：
- ln(a) = ln(b) 当且仅当 a = b (a>0, b>0)。
- ln(a) > ln(b) 当且仅当 a > b (因为 eˣ 是增函数，其反函数 ln(x) 也是增函数)。

定义域： 看到 ln(...)，必须先检查内部表达式是否 >0。
区分 ln(aᵇ) 和 (ln a)ᵇ： 这是常见的混淆点。
- ln(aᵇ) = b * ln(a)
- (ln a)ᵇ 就是 ln(a) 的 b 次方，这是完全不同的运算，没有特别简单的化简公式。
ln(x + y) ≠ ln(x) + ln(y)！
图像： 记住 ln(x) 的图像：过 (1,0), (e,1) 点，y 轴 (x=0) 是渐近线，在定义域 (0, +∞) 内单调递增，增长缓慢（一开始增长较快，后面越来越平缓）。
特殊值： 除了 ln(1)=0, ln(e)=1 外，有时也会用到 ln(2) ≈ 0.693, ln(10) ≈ 2.302（题目可能会直接给出或要求使用计算器）。
与常用对数 (lg) 的关系： ln(x) ≈ 2.3026 * lg(x) 或者 lg(x) ≈ 0.4343 * ln(x)（因为 ln(10) ≈ 2.3026）。这在有时转换时需要用到。

计算 ln(e³) + ln(4) = 3 + ln(4) = 3 + ln(2²) = 3 + 2ln(2) ≈ 3 + 2*0.693 ≈ 4.386
解方程 ln(2x-1) = 4:
- 两边取 e： 2x - 1 = e⁴
- 2x = e⁴ + 1
- x = (e⁴ + 1)/2 (记得检查定义域 2x-1 >0，即 x>1/2，此解显然满足)
化简 ln((x²y³)/z)：
- = ln(x²y³) - ln(z)
- = ln(x²) + ln(y³) - ln(z)
- = 2ln(x) + 3ln(y) - ln(z)

总结一下高中常用的关键点：