二分查找插入点

二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

---

无重复元素的情况

例：给定一个长度为 的有序数组 nums 和一个元素 target ，数组不存在重复元素。现将 target 插入数组 nums 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ，则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。

nums为[]int{1,3,6,8} target为4

i	j	i,j比较	m	nums[m],target比较
0	3	0<3(循环继续)	1	3 < 4	插入点在m右边
2	3	2<3(循环继续)	2	6 > 4	插入点在m左边
2	1	2>1(循环结束)			i为插入点索引

/* 二分查找插入点（无重复元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 找到 target ，返回插入点 m
            return m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
}

---

存在重复元素的情况

在上一个例子的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。

要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。

---

初步考虑的步骤实现。

• 执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为k。
• 从索引k开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

这个方法包含线性查找，时间复杂度为O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时，效率很低。

进一步考虑拓展二分查找代码

整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。

• 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针i和j向 target 靠近。
• 当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间[i,m-1]中，因此采用j=m-1来缩小区间，从而使指针j向小于 target 的元素靠近。

循环完成后，i指向最左边的 target ，j指向首个小于 target 的元素，因此索引i就是插入点。

/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i
}