行优先的多维数组中线性索引和逻辑索引的关系

命题：如果有一个n维行优先的数组的shape为 $shape_o\times shape_1 \times ... \times shape_{n-1}$ ，对于线性索引为 L ，如果其满足 $L = index_0 \times stride_0 + index_1 \times stride_1 + index_2 \times stride_2 + ... + index_{n-1} \times stride_{n-1}$ ，对于 $index_0$ ，则有： $index_0 = \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor \\$ 证明：

假如 $index_0 > \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor$ ，不妨设 $index_0 = \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor +1$ ，则有 $index_0 *stride_0 =( \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor +1)*stride_0 > L$ ，证明如下图：

这和 $L = index_0 \times stride_0 + index_1 \times stride_1 + index_2 \times stride_2 + ... + index_{n-1} \times stride_{n-1}$ 的前提相矛盾，故假设不成立。

假如 $index_0 < \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor$ ，不妨设 $index_0 = \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor -1$ ，则有 $index_0 *stride_0 + index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1}=( \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor -1)*stride_0 + index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} \\$

由于有 $(\lfloor{ \frac{L}{stride_0}} \rfloor - 1) * stride_0 \leq L- stride_0$，故上式有： $( \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor -1)*stride_0 + index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} \leq L- stride_0 +index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} \\$ 假如 $index_1 ...index_{n-1}$ 都取最大值，那么对于第k个维度而言，

由于 $stride_k = \prod_{m=k+1}^{n-1}shape_m$ ，所以有：

$(shape_k-1)stride_k = (shape_k -1)\prod_{m=k+1}^{n-1}shape_m = \prod_{m=k}^{n-1}shape_m - \prod_{m=k+1}^{n-1}shape_m, k\leq n-2 \\ (shape_k-1)stride_k = shape_{n-1} -1, k = n-1，注意最后一个维度的stride=1 \\$

故将第二个维度（假设数组维度大于2，如果维度为1或者2，那么可以直接验证）及其之后的维度的shape最大值及其stride相乘有下式:
$\sum_{k=1}^{n-1}(shape_k -1)stride_k \\ =\sum_{k=1}^{n-2}(\prod_{m=k}^{n-1}shape_m - \prod_{m=k+1}^{n-1}shape_m) + shape_{n-1} -1 \\ =\prod_{m=1}^{n-1}shape_m -1 < stride_0\\$ 所以 $L- stride_0 +index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} <L-stride_0 + \prod_{m=1}^{n-1}shape_m -1 < L-stride_0 + stride_0 = L$

亦即: $( \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor -1)*stride_0 + index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} \leq L- stride_0 +index_1 *stride_1 +index_2 *stride_2 + ... + index_{n-1} * stride_{n-1} < L \\$ 这和前提相矛盾，故假设不成立。

所以命题得证。

通过这个命题，我们可以从线性索引求得逻辑索引，首先通过 $\lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor$ 求 $index_0$ ，有：

$L = \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor \times stride_0 + index_1 \times stride_1 + index_2 \times stride_2 + ... + index_{n-1} \times stride_{n-1}$，

之后，设 $offset = L - \lfloor \frac{L}{stride_0} \rfloor \times stride_0 = L \% stride_0$ ，则有：

$offset = index_1 \times stride_1 + index_2 \times stride_2 + ... + index_{n-1} \times stride_{n-1} \\$ 用同样的方法，我们可以求得 $index_1、index_2、.....index_{n-1}$ 。

这在写CUDA算子，如cat算子等的时候特别有用，从tid算得本线程要负责的元素的逻辑索引，从而进行相关拷贝操作。