第5节矩阵分块法

2025-07-14 131 阅读1分钟

一、概念

横平竖直分块

二、计算

A，B为同型矩阵，分块方法相同
$A_{m\times L}B_{L\times n}$ 分块要符合要求： $A_{s\times t}B_{t\times r}$
分块矩阵的转置(先整体转置，再内部每个小矩阵转置)

A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix}

A^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{pmatrix}

分块对角矩阵：A为n阶矩阵，A的分块阵只在对角线上有非0子块，其余子块都为0阵，且对角线上的子块都是方阵。 $|A|=|A_1||A_2|...|A_s|$ $若|A_i|\neq 0=>|A|\neq 0（条件），所以有逆矩阵$

A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{1}^{-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & A_{s}^{-1} \end{pmatrix}

副对角线分块阵的逆

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & A_s^{-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_1^{-1} & \cdots & 0 \end{pmatrix}

例题 $有A，求A^{-1}$ $可由AA^{-1}=E得到$

A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ D & C \end{pmatrix}

可得：

A^{-1} = \begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} \end{pmatrix}

左乘同行，右乘同列