第一章：动态规划算法入门：从斐波那契数列开始
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种解决复杂问题的高效方法，尤其适用于那些可以分解为子问题，并且具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。很多初学者觉得 DP 抽象、难以掌握，而本文将从最简单的例子——斐波那契数列——入手，带你一步步理解动态规划的本质，并与递归进行对比，揭开其神秘面纱。
一、什么是斐波那契数列？
斐波那契数列是一列这样的数：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) （n >= 2）
这个数列的前几项是：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
斐波那契数列是动态规划学习的经典入门案例，因为它非常清楚地展现了递归带来的重复计算问题。
二、递归解法：直观但低效
我们可以用最直接的方式定义一个递归函数来求解斐波那契数列：
function fib(n) {
if (n <= 1) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
这种方式代码非常简洁，但它的时间复杂度是 O(2^n)，随着 n 的增长，函数调用会呈指数级爆炸，原因是存在大量重复计算。
以 fib(5) 为例，它会递归调用 fib(4) 和 fib(3)，而 fib(4) 又会调用 fib(3) 和 fib(2)，如此往复。你会发现 fib(3) 被算了多次！
三、动态规划解法：高效且易优化
为了避免重复计算，我们可以使用动态规划思想，将中间结果保存起来。最常见的方式是“自底向上”的迭代方法。
3.1 使用数组保存结果（标准 DP）
function fib(n) {
if (n <= 1) return n;
const dp = new Array(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
3.2 空间优化（滚动数组）
因为每一项只依赖前两项，我们其实不需要整个数组：
function fib(n) {
if (n <= 1) return n;
let a = 0,
b = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
let sum = a + b;
a = b;
b = sum;
}
return b;
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
四、动态规划与递归的比较
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 是否重复子问题 | 是否保存中间结果 |
|---|---|---|---|---|
| 递归 | O(2^n) | O(n) | 是 | 否 |
| DP 数组 | O(n) | O(n) | 是 | 是 |
| DP 优化 | O(n) | O(1) | 是 | 是（滚动变量） |
递归虽然思路清晰，但效率太低。在大多数工程或算法面试场景中，动态规划才是可行的解决方案。
五、小结
通过斐波那契数列的例子，我们学习了动态规划的基本思想和应用过程：
- 识别子问题和重复计算
- 定义状态（如 dp[i]）
- 写出状态转移方程（如 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]）
- 选择合适的数据结构保存中间结果
- 实现并优化代码
下一章，我们将通过“爬楼梯问题”进一步加深对动态规划的理解，它和斐波那契几乎是双胞胎！
