引言
在高项的第21章，运筹学中有一个相对比较复杂的算法，匈牙利算法，很多机构的老师在这一张的教学中，会告诉我们说这个只会考一分，可以不需要掌握，而经历过2025年第二批的考生就会发现，案例的计算题中居然也出了这道算法题，而我也没太关注这个算法，导致案例题没过，所以今天就和大家一起认认真真学习一下匈牙利算法。
一、什么是匈牙利算法？
匈牙利算法由匈牙利数学家Dénes Kőnig在1931年提出，后来由Harold Kuhn在1955年进一步完善。该算法主要用于解决二分图最大匹配问题，特别是指派问题（Assignment Problem），即在给定的成本矩阵中找到最优的任务分配方案，使得总成本最小（或收益最大）。
适用场景
- 任务分配（如员工与岗位的匹配）
- 资源调度（如出租车与乘客的匹配）
- 图像处理（如目标跟踪中的特征匹配）
二、匈牙利算法的核心思想
匈牙利算法的核心在于调整成本矩阵，通过行归约和列归约来找到最优匹配。其基本步骤如下：
步骤 1：构建成本矩阵
假设我们有4个任务和4个工人，每个工人完成不同任务的成本如下：
| 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |
|---|---|---|---|---|
| 工人A | 6 | 7 | 11 | 2 |
| 工人B | 4 | 5 | 9 | 8 |
| 工人C | 3 | 1 | 10 | 4 |
| 工人D | 5 | 9 | 8 | 2 |
步骤 2：行归约
对每一行，减去该行的最小值，使得每行至少有一个0：
- 工人A：最小值为2 → 减去2
- 工人B：最小值为4 → 减去4
- 工人C：最小值为1 → 减去1
- 工人D：最小值为2 → 减去2
调整后的矩阵：
| 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |
|---|---|---|---|---|
| 工人A | 4 | 5 | 9 | 0 |
| 工人B | 0 | 1 | 5 | 4 |
| 工人C | 2 | 0 | 9 | 3 |
| 工人D | 3 | 7 | 6 | 0 |
步骤 3：列归约
对每一列，减去该列的最小值（如果该列还没有0）：
-
任务1：最小值已经是0（不调整）
-
任务2：最小值是0（不调整）
-
任务3：最小值是5 → 减去5
-
任务4：最小值是0（不调整）
调整后的矩阵：
| 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |
|---|---|---|---|---|
| 工人A | 4 | 5 | 4 | 0 |
| 工人B | 0 | 1 | 0 | 4 |
| 工人C | 2 | 0 | 4 | 3 |
| 工人D | 3 | 7 | 1 | 0 |
步骤 4：寻找独立零
尝试用最少的横线或竖线覆盖所有0，如果线条数等于矩阵的阶数（这里是3），如果这个数量大于等于矩阵的行列数，那么直接跳到最后一步，则找到最优解。
步骤5：剩余矩阵处理
-
剩余矩阵减去矩阵最小值1
-
交点加最小值1
得到矩阵如下
| 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |
|---|---|---|---|---|
| 工人A | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 工人B | 0 | 1 | 0 | 5 |
| 工人C | 2 | 0 | 4 | 4 |
| 工人D | 2 | 6 | 0 | 0 |
重复步骤四直到直线数量等于矩阵行或列
步骤6：得到最优解
找到当前某行仅有1个0，划掉这个0对应的行列，重复操作直到匹配完成
| 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |
|---|---|---|---|---|
| 工人A | 3 | 4 | 3 | 0 |
| 工人B | 0 | 1 | 0 | 5 |
| 工人C | 2 | 0 | 4 | 4 |
| 工人D | 2 | 6 | 0 | 0 |
在本例中，我们可以这样匹配：
-
工人A → 任务4
-
工人B → 任务1
-
工人C → 任务2
-
工人D → 任务3
这样，总成本 = 2（A-4） + 4（B-1） +1（C-2） + 8（D-3） = 15
我们就可以很快的计算出了最优解
三、2025年高项案例题
接下来我们看一下2025年案例题 根据作者搜集资料，题目大概就是，我们已知各组完成各项活动的总费用，让我们确保项目能够用最小费用完成，表格如下
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1组 | 7 | 12 | 13 | 9 | 11 | 10 |
| 2组 | 3 | 11 | 13 | 6 | 6 | 9 |
| 3组 | 3 | 13 | 12 | 8 | 8 | 6 |
| 4组 | 3 | 13 | 11 | 5 | 11 | 10 |
| 5组 | 6 | 14 | 14 | 8 | 6 | 7 |
| 6组 | 3 | 11 | 14 | 5 | 8 | 6 |
按照上面步骤，我们计算一次
步骤 1：行归约
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1组 | 0 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 |
| 2组 | 0 | 8 | 10 | 3 | 3 | 6 |
| 3组 | 0 | 10 | 9 | 5 | 5 | 3 |
| 4组 | 0 | 10 | 8 | 2 | 8 | 7 |
| 5组 | 0 | 8 | 8 | 2 | 0 | 1 |
| 6组 | 0 | 8 | 11 | 2 | 5 | 3 |
步骤 2：列归约
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1组 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 2 |
| 2组 | 0 | 3 | 4 | 1 | 3 | 5 |
| 3组 | 0 | 5 | 3 | 3 | 5 | 2 |
| 4组 | 0 | 5 | 2 | 0 | 8 | 6 |
| 5组 | 0 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 6组 | 0 | 3 | 5 | 0 | 5 | 2 |
步骤 3：寻找独立零
步骤5：剩余矩阵处理
步骤6：得到最优解
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1组 | 2 | 0 | 0 | 2 | 4 | 2 |
| 2组 | 0 | 1 | 2 | 1 | 1 | 3 |
| 3组 | 0 | 3 | 1 | 3 | 3 | 0 |
| 4组 | 0 | 3 | 0 | 0 | 6 | 4 |
| 5组 | 2 | 3 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| 6组 | 0 | 1 | 3 | 0 | 3 | 0 |
最小成本= 12(1组-B) + 3(2组-A) + 6(3组-F) + 11(4组-C) + 6(5组-E) + 5(6组-D) = 43
最后向大家分享下我的学习资料
