二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树满足以下条件：

• 对于根节点，左子树中所有节点的值 根节点的值 右子树中所有节点的值。
• 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

二叉搜索树操作

我们将二叉搜索树封装为一个BinarySearchTree结构体，声明一个变量root，指向树的根节点

type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
​
type binarySearchTree struct {
    root *TreeNode
}
​
func NewBinarySearchTree(value int) *binarySearchTree {
    return &binarySearchTree{
        root: &TreeNode{
            Val:   value,
            Right: nil,
            Left:  nil,
        },
    }
}

查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找

我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

• 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right
• 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left
• 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用O(log n)时间

/* 查找节点 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val < num {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val > num {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return node
}

插入节点

给定一个待插入元素 num,为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下

• 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
• 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

代码实现时，需要注意以下两点

• 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。

• 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

/*插入节点*/
func (bst *binarySearchTree) Insert(num int) {
    cur := bst.root
    //如果树为空 初始化根节点
    if cur == nil {
        bst.root = NewTreeNode(num)
        return
    }
    //待插入节点的父节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    //循环查找 越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入节点
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
}

删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除

与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足

因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作

• 当待删除节点的度为 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除
• 当待删除节点的度为 时，将待删除节点替换为其子节点即可
• 当待删除节点的度为 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树<根节点<右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点）

• 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
• 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

删除节点操作同样使用O(log n)时间，其中查找待删除节点需要O(log n)时间，获取中序遍历后继节点需要O(log n)时间。

/*删除节点*/
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
    cur := bst.root
    //树为空 则直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    //待删除节点的父节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    //循环查找 学过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            // 待删除节点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除节点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    //若无待删除节点 直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子节点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除节点的子节点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 删除节点 cur
        if cur != bst.root {
            if pre.Left == cur {
                pre.Left = child
            } else {
                pre.Right = child
            }
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            bst.root = child
        }
        // 子节点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
        tmp := cur.Right
        for tmp.Left != nil {
            tmp = tmp.Left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        bst.remove(tmp.Val)
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.Val = tmp.Val
    }
}

中序遍历有序

二叉树的中序遍历遵循“左 根 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 根节点 右子节点”的大小关系

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需O(n)时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。