每日LeetCode : x 的算术平方根——从暴力求解到二分查找与牛顿迭代

问题描述

给定一个非负整数 x，请计算并返回它的 算术平方根（即 √x），结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。
限制条件：不允许使用任何内置指数函数或运算符（如 Math.pow(x, 0.5) 或 x ** 0.5）。

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一、初步思路：暴力枚举法

思路说明

逐个尝试整数 i，直到找到满足 i * i > x 的最小整数，此时 i - 1 即为答案。

JavaScript 实现

function mySqrt(x) {
    if (x === 0 || x === 1) return x;
    let i = 1;
    while (i * i <= x) {
        i++;
    }
    return i - 1;
}

时间复杂度分析

• 最坏情况下需要遍历到 √x，时间复杂度为 O(√x)。
• 对于大数（如 x = 2^31 - 1），效率较低。

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二、优化方法一：二分查找法

核心思想

平方根的值一定在 0 到 x 之间。通过 二分查找 缩小范围，每次将搜索区间减半，从而快速逼近答案。

JavaScript 实现

function mySqrt(x) {
    if (x < 2) return x;
    let left = 0, right = x;
    while (left <= right) {
        const mid = Math.floor((left + right) / 2);
        // 使用 mid <= x / mid 避免整数溢出
        if (mid <= x / mid) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return right;
}

时间复杂度分析

• 每次将搜索空间减半，时间复杂度为 O(log x)。
• 显著优于暴力法，适用于非常大的输入值。

优化点

• 避免整数溢出：使用 mid <= x / mid 代替 mid * mid <= x。
• 边界处理：当 x < 2 时直接返回 x。

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三、进一步优化：牛顿迭代法

数学背景

牛顿迭代法是一种数值逼近方法，用于求解方程 f(x) = 0 的近似解。对于 x² = n，我们可以通过迭代公式逐步逼近 √n。

迭代公式推导

设 f(x) = x² - n，其导数为 f’(x) = 2x。
根据牛顿迭代法的公式：

JavaScript 实现

function mySqrt(x) {
    if (x < 2) return x;
    let guess = x;
    while (true) {
        const newGuess = Math.floor((guess + x / guess) / 2);
        if (newGuess >= guess) {
            return guess;
        }
        guess = newGuess;
    }
}

时间复杂度分析

• 牛顿法的收敛速度为 二次收敛，即每次迭代的误差平方级减少，因此在实践中非常高效。
• 时间复杂度接近 O(log log x)，远优于二分查找。

优势与局限性

• 优势：收敛速度快，适合高精度计算。
• 局限性：需要理解数学原理，且对初始值选择敏感（但此处固定初始值 x 已足够）。

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五、方法对比与总结

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景	优点	缺点
暴力枚举法	O(√x)	O(1)	小规模输入	实现简单	效率低
二分查找法	O(log x)	O(1)	中等规模输入	效率高，代码简洁	需处理边界条件
牛顿迭代法	O(log log x)	O(1)	大规模输入或高精度需求	收敛速度快，效率极高	需数学推导，实现稍复杂

推荐解法

• 常规场景：优先使用 二分查找法，因其代码简洁、时间复杂度低。
• 高性能需求：使用 牛顿迭代法，尤其适合对精度要求极高的场景（如科学计算）。

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六、扩展思考

1. 如何避免整数溢出？
   在二分查找中，使用 mid <= x / mid 代替 mid * mid <= x，可避免大数相乘导致溢出。

2. 如何处理浮点数精度问题？
   牛顿迭代法中，使用 Math.floor((guess + x / guess) / 2) 代替浮点数除法，确保结果符合题目要求。

3. 其他方法：

   • 袖珍计算器算法：通过 Math.exp(0.5 * Math.log(x)) 计算平方根，但可能因浮点数精度损失导致错误，需额外修正。

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