线性菲涅耳系统关键公式速查与应用修炼手册

引言：从理论到实践的桥梁

本手册旨在将线性菲涅耳反射器（LFR）系统设计中的核心数学公式提炼为清晰、实用的计算指南，涵盖：

1. 太阳辐射与几何位置计算（第2章核心）
2. 光学损失的量化分析（第5章核心）
3. 镜场布局的工程设计（第7章核心）

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第一部分：太阳辐射与几何位置计算 (第2章核心)

1. 太阳赤纬角 ($\delta$)

用途：计算太阳光线与地球赤道平面的夹角（决定季节变化与太阳高度）
公式：
$\delta = 23.45^\circ \sin\left( \frac{360^\circ}{365}(284 + N_{\text{day}}) \right)$
变量：

• $N_{\text{day}}$：年内序日（1月1日为1）

示例：
计算夏至日（$N_{\text{day}} = 172$）的 $\delta$：

1. $\delta = 23.45^\circ \sin\left( \frac{360^\circ}{365}(284 + 172) \right)$
2. $\delta = 23.45^\circ \sin(450^\circ) = 23.45^\circ \times 1 = 23.45^\circ$ ✅

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2. 太阳时角 ($\omega$)

用途：计算太阳相对正南方向的转动角度（正午为$0^\circ$，上午负，下午正）
公式：
$\omega = 15^\circ (t_s - 12), \quad t_s = t - \frac{\lambda_z - \lambda}{15} + \frac{E}{60}$
变量：

• $t$：本地时间（24h制）
• $\lambda_z$：时区标准经度（如东经120°）
• $\lambda$：当地实际经度（东正西负）
• $E$：时差（分钟，需查表）

示例：
计算北京（$\lambda=116.4^\circ E$）14:00时的$\omega$（$E=-5$分钟）：

1. $t_s = 14 - \frac{120 - 116.4}{15} + \frac{-5}{60} \approx 13.677$
2. $\omega = 15^\circ \times (13.677 - 12) \approx 25.15^\circ$

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3. 太阳高度角 ($\alpha_s$)

用途：计算太阳光线与地平面的夹角
公式：
$\sin(\alpha_s) = \sin\phi \sin\delta + \cos\phi \cos\delta \cos\omega$
变量：

• $\phi$：当地纬度
• $\delta$：太阳赤纬角
• $\omega$：太阳时角

示例：
计算北京（$\phi \approx 40^\circ$）夏至正午的$\alpha_s$：

1. $\sin(\alpha_s) = \sin40^\circ \sin23.45^\circ + \cos40^\circ \cos23.45^\circ \cos0^\circ \approx 0.958$
2. $\alpha_s = \arcsin(0.958) \approx 73.3^\circ$

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第二部分：光学损失量化分析 (第5章核心)

1. 余弦效率 ($\eta_{\text{cosine},j}$)

用途：计算非垂直入射导致的采光面积损失比例
公式：
$\eta_{\text{cosine},j} = \cos \varepsilon_j, \quad \varepsilon_j = 90^\circ - (\beta_j + \theta_T)$
变量：

• $\beta_j$：镜面倾斜角
• $\theta_T$：太阳横向高度角

示例：
$\beta_j = 20^\circ, \theta_T = 60^\circ$时：
$\varepsilon_j = 90^\circ - (20^\circ + 60^\circ) = 10^\circ \implies \eta_j = \cos 10^\circ \approx 98.5\%$

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2. 端部损失因子 ($f_{\text{end},j}$)

用途：计算反射镜两端光线溢出吸热器的损失比例
公式：
$f_{\text{end},j} = \frac{|L_{\text{loss},j}|}{L}, \quad L_{\text{loss},j} \approx H_j \tan \theta_L$
变量：

• $L$：吸热器长度
• $H_j$：镜面到吸热器的垂直距离
• $\theta_L$：太阳纵向角

示例：
$L=100\ \text{m}, H_j=50\ \text{m}, \theta_L=5^\circ$时：
$L_{\text{loss},j} \approx 50 \times \tan5^\circ \approx 4.375\ \text{m} \implies f_j = 4.375/100 = 4.375\%$

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第三部分：镜场布局工程设计 (第7章核心)

1. 镜面倾斜角 ($\beta_j$)

用途：计算反射镜倾斜角度使光线聚焦至吸热器中心
公式：
$\beta_j = \frac{\eta_j - h_{T,\text{max}}}{2}, \quad \eta_j = \arctan\left( \frac{H}{Q_j} \right)$
变量：

• $h_{T,\text{max}}$：设计最大太阳横向角（常取$90^\circ$）
• $Q_j$：镜面中心水平位置
• $H$：吸热器高度

示例：
$H=15\ \text{m}, Q_j=10\ \text{m}, h_{T,\text{max}}=90^\circ$时：
$\eta_j = \arctan(15/10) \approx 56.3^\circ \implies \beta_j = (56.3^\circ - 90^\circ)/2 \approx -16.85^\circ$（负号表示向中心倾斜）

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2. 镜面宽度 ($W_j$)

用途：计算镜宽使反射光斑完全覆盖吸热器
公式：
$W_j = W_r \frac{\sin x_j}{\sin \eta_j}, \quad x_j = \eta_j - \beta_j$
变量：

• $W_r$：吸热器宽度
• $\eta_j$：镜心-吸热器连线与水平面夹角

示例：
$W_r=0.5\ \text{m}, \eta_j=56.3^\circ, \beta_j=-16.85^\circ$时：
$x_j = 56.3^\circ - (-16.85^\circ) = 73.15^\circ \implies W_j = 0.5 \times \frac{\sin 73.15^\circ}{\sin 56.3^\circ} \approx 0.435\ \text{m}$

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3. 镜间安全距离 ($S_j$)

用途：计算最小水平间距避免阴影遮挡
公式（简化版）：
$S_j = \frac{2W_j \cos \beta_j + 2W_{j-1} \cos \beta_{j-1} + 2W_j \sin \beta_j \tan(90^\circ - h_{T,\text{max}} + 2\beta_j)}{ \text{（需迭代计算）} }$
计算步骤：

1. 基于相邻镜的参数初猜$S_j$
2. 更新位置 $Q_j = Q_{j-1} + S_j$
3. 重算$\beta_j$, $W_j$直至收敛