一、简介和应用
二叉搜索树(Binary Search Tree, BST)是一种特殊的二叉树数据结构，其中每个节点的值大于其左子树所有节点的值，小于其右子树所有节点的值。这种特性使得BST在查找、插入和删除操作上具有很高的效率。
应用场景：
- 数据库索引实现
- 文件系统目录管理
- 字典和电话簿实现
- 游戏中的高分排行榜
- 网络路由表
- 内存分配管理
BST的平均时间复杂度为O(log n)，在数据有序性要求高且需要频繁查找的场景中表现优异。
二、特点和注意事项
特点：
注意事项：
- 平衡问题：不平衡的BST会退化为链表，效率降低
- 重复值：标准BST不支持重复值(需要特殊处理)
- 删除策略：删除节点有多种情况需要考虑
- 内存管理：需要手动释放删除的节点
- 递归深度：大量数据可能导致栈溢出
三、实现步骤解析
- 定义节点结构：创建包含数据、左指针和右指针的结构体
- 初始化BST：创建根节点并维护节点计数器
- 实现核心操作：
-
- 插入节点：递归找到合适位置插入新节点
- 查找节点：利用BST特性快速定位
- 删除节点：处理三种情况(无子节点、单子节点、双子节点)
- 辅助功能：
-
- 查找前驱节点：用于删除操作
- 查找最小值：用于删除双子节点情况
- 实现遍历：
-
- 前序遍历：根-左-右顺序
- 中序遍历：左-根-右顺序(得到有序序列)
四、完整代码和注释
#include<iostream>
using namespACe std;
// 定义二叉搜索树节点结构
struct treenode{
int data=0; // 节点存储的数据，默认为0
treenode* left=nullptr; // 左子节点指针，默认为空
treenode* right=nullptr; // 右子节点指针，默认为空
};
// 定义二叉搜索树类
class binaryfindtree{
treenode* root=new treenode; // 根节点
int sum = 0; // 节点计数器
// 内部递归插入方法
void add(int data, treenode* root){
if (sum==0){ // 如果是第一个节点
root->data = data; // 直接赋值给根节点
}else{
if(data<root->data){ // 如果数据小于当前节点
if(root->left) // 如果左子节点存在
add(data, root->left); // 递归向左子树插入
else { // 如果左子节点不存在
root->left = new treenode; // 创建新节点
root->left->data = data; // 赋值
}
}else{ // 如果数据大于等于当前节点
if(root->right) // 如果右子节点存在
add(data, root->right); // 递归向右子树插入
else { // 如果右子节点不存在
root->right = new treenode; // 创建新节点
root->right->data = data; // 赋值
}
}
}
sum++; // 节点计数增加
}
// 内部递归查找方法
treenode* get(int data, treenode* root){
if (!root) // 如果节点为空
return nullptr; // 返回空指针
if (root->data == data) // 如果找到数据
return root; // 返回当前节点
if (data < root->data) // 如果数据小于当前节点
return get(data, root->left); // 递归左子树查找
else // 如果数据大于当前节点
return get(data, root->right); // 递归右子树查找
}
// 查找指定节点的父节点
treenode* getpre(int data, treenode* root) {
if (!root) // 如果节点为空
return nullptr; // 返回空指针
if (!root->left and !root->right) // 如果是叶子节点
return nullptr; // 返回空指针
// 检查左子节点
if (!root->left){ // 如果没有左子节点
if (root->right->data == data) // 如果右子节点匹配
return root; // 返回当前节点(父节点)
}else{
if (!root->right){ // 如果没有右子节点
if (root->left->data == data) // 如果左子节点匹配
return root; // 返回当前节点(父节点)
}else{ // 如果有两个子节点
if (root->left->data == data or root->right->data == data) // 如果任一子节点匹配
return root; // 返回当前节点(父节点)
}
}
// 递归查找左右子树
if (getpre(data, root->left)) // 先在左子树查找
return getpre(data, root->left);
else // 再在右子树查找
return getpre(data, root->right);
}
// 查找子树中的最小节点
treenode* mindata(treenode* root) {
if (!root->left) // 如果没有左子节点
return root; // 当前节点就是最小节点
return mindata(root->left); // 递归查找左子树
}
// 内部递归删除方法
treenode* del(int data, treenode* root){
if (!root or (!root->left and !root->right)) // 空树或只有根节点
return nullptr;
treenode* tmp = get(data, root); // 找到要删除的节点
treenode* pre = getpre(data, root); // 找到父节点
bool lr = pre->right == tmp; // 判断是左子节点还是右子节点
// 情况1: 要删除的节点是叶子节点
if (!tmp->left and !tmp->right){
!lr ? pre->left = nullptr : pre->right = nullptr; // 父节点对应指针置空
return root;
}
// 情况2: 要删除的节点只有一个子节点
if (!tmp->right) // 只有左子节点
!lr ? pre->left = tmp->left : pre->right = tmp->left; // 用左子节点替代
else{
if (!tmp->left) // 只有右子节点
!lr ? pre->left = tmp->right : pre->right = tmp->right; // 用右子节点替代
else{ // 情况3: 有两个子节点
tmp->data = mindata(root->right)->data; // 用右子树最小节点值替换
tmp->right = del(tmp->data, mindata(root->right)); // 删除右子树最小节点
}
}
sum--; // 节点计数减少
return root;
}
// 前序遍历(根-左-右)
void preorder(treenode* root)
{
if (!root) // 如果节点为空
return; // 返回
cout << root->data << " "; // 先访问根节点
preorder(root->left); // 再遍历左子树
preorder(root->right); // 最后遍历右子树
}
// 中序遍历(左-根-右)
void inorder(treenode* root){
if (!root) // 如果节点为空
return; // 返回
inorder(root->left); // 先遍历左子树
cout << root->data << " "; // 再访问根节点
inorder(root->right); // 最后遍历右子树
}
public:
// 公开插入接口
void add(int data){
add(data, root);
}
// 查找接口
bool find(int data){
return get(data, root) != nullptr; // 转换为bool值返回
}
// 删除接口
void del(int data){
root = del(data, root);
}
// 中序遍历接口
void inorder(){
inorder(root);
cout << endl;
}
// 前序遍历接口
void preorder()
{
preorder(root);
cout << endl;
}
};
五、总结
二叉搜索树是一种高效的数据结构，特别适合需要频繁查找、插入和删除操作的场景。本文通过完整的C++实现，展示了BST的核心操作和两种遍历方式。理解BST的工作原理对于学习更高级的数据结构(如AVL树、红黑树等)至关重要。在实际应用中，需要注意保持树的平衡以获得最佳性能。
来源:学习资料
