二分搜索（基础部分）
一.知识点总结：
基础二分查找（三种代码版本）
版本一：
bool binarySearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size()-1;
while(first<=last){
int middle=(first+lase)>>1;
if(values[middle]<keyValue){
first=middle+1;
}
else if(values[middle]>keyValue){
last=middle-1;
}
else return true;
}
return false;
}
版本二：
bool binarySearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size();
while(first<last){
int middle=(first+last)>>1;
if(values[middle]<keyValue){
first=middle+1;
}
else if(values[middle]>keyValue){
last=middle;
}
else return true;
}
return false;
}
版本三：
bool binarychSearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size();
while(last-fifrst>1){
if(keyValue<values[middle]){
last=middle;
}
else{
first=middle;
}
}
if(values[i]==keyValue){
return ture;
}
else {
return false;
}
}
二.具体知识：
1.二分搜索是什么？
答：传入一个已排好序的数组和一个要查找的value值，利用“已排好序”这一条件快速缩小查找范围，最后确定value是否在数组中。
2.二分搜索相对于普通查找有何优点？
答：二分查找利用“已排好序”这一先决条件，极大节省了搜索时间。
bool commonSearch(vector<int>values,int keyValue){
for(int i=0;i<values.size();++i){
if(values[i]==keyValue){
return true;
}
}
return false;
}
这是一个顺序查找的代码，当元素的数量为n，则要作n次计算，时间复杂度为O（n）。
bool binarySearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size()-1;
while(first<=last){
int middle=(first+lase)>>1;
if(values[middle]<keyValue){
first=middle+1;
}
else if(values[middle]>keyValue){
last=middle-1;
}
else return true;
}
return false;
}
这是一个二分查找的代码，当元素的数量为n时,则做logn次计算，时间复杂度为O（logN）。
3.三个基础版本的语法细节：
（1.）版本一：
bool binarySearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size()-1;
while(first<=last){
int middle=(first+lase)>>1;
if(values[middle]<keyValue){
first=middle+1;
}
else if(values[middle]>keyValue){
last=middle-1;
}
else return true;
}
return false;
}
问题一：为什么last=values.size()-1，while的条件就要“<=”？
答：因为特殊情况有三种：1.查的是第一个元素；2.查的是最后一个元素；3.first和last重合。 其实三个特殊情况最后都会变成一个问题：first和last重合时while要不要继续。
答案是要继续。按照算法过程，导致first和last重合的上一步，first和last位置必然是相差2（first和last之间只有一个元素）而且循环一次后发现中间的这个元素不是要查找的值，于是进行first+1或者last-1，而后出现first和last重合的情况。如果这时停止循环，那就会遗漏掉重合的这一元素。所以循环条件一定是：first<=last。
问题二：为什么（first+last）>>1？
答：(first+last)>>1其实就是（first+last）/2。这是利用了二进制的性质。
有两个好处：
1.当last等于int可表示数字的最大值或者(first+last)超过int可表示范围的最大值时，>>1可以防止溢出导致的数据错误。
2.>>1比/2更快。
问题三：为什么是middle+1和middle-1？不能是middle吗？
答：这涉及循环体的一致性（我称它为一致性）。
不能是middle的原因：循环开始时first是第一个元素，last是最后一个元素，first和last的元素都是要参与比较的，比较的范围是左闭右闭区间。那么每一次循环，first和last所在的元素都一定是需要参与比较的。而上一次循环中，middle所指元素已经比较过1次，不应该再参与比较。如果再参与，那左闭右闭区间就实质上变成有一边开（左开或者右开）的区间了，那么循环在某些条件下就会出现问题。
循环的本质不仅仅是代码可以重复运行，还是代码所表达的数据结构与算法可以重复运行。
（2.）版本二：
bool binarySearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size();
while(first<last){
int middle=(first+last)>>1;
if(values[middle]<keyValue){
first=middle+1;
}
else if(values[middle]>keyValue){
last=middle;
}
else return true;
}
return false;
}
问题一：last=values.size()时，为什么循环条件要改成"<"?
答：考虑一种特殊情况：查找的是比最后一个元素还大的元素。在这种情况下，first最终不是与last重合就是达到last的下一个位置。如果最后重合，而循环条件是”<=“，那么就会越界访问。所以循环条件只能是"<"。
问题二：else if 为什么改成last=middle而不是last=middle-1？
同样是循环体一致性的问题。初始first=0,last=values.size()，实际上就是个左闭右开区间。那么下一次循环令last=middle依然与first在本质上形成左闭右开区间。因为上一次循环中middle的元素已经被比较过了。
（3.）版本三：
bool binarychSearch(vector<int>values,int keyValue){
int first=0,last=values.size();
while(last-first>1){
if(keyValue<values[middle]){
last=middle;
}
else{
first=middle;
}
}
if(values[i]==keyValue){
return true;
}
else {
return false;
}
}
问题一：为什么要有版本三？
答：为了解决版本一和版本二的平衡性问题。当用版本一和二查找最右边的元素时，while循环只需要比较一次（即if那一句）。而当查找最左边的元素时，while循环就要比较两次（比较一次if，然后再比较一次else if）。这就导致左右的不平衡。版本三就是为了优化这一问题。
问题二：为什么last-first>1作为while判断条件？
答：首先，这是左闭右开区间的写法，所以一般条件是first<last，但while的目的是通过不断缩小范围，缩小到只剩一个数时再去决定return true还是false。为了“剩下最后一个数”，所以while到last-first=1时停止。
问题三：为什么是last=middle？
答：同版本二，因为左闭右开。
问题四：为什么是first=middle，而不是first=middle+1?
因为else里面不仅包含了keyValue>values[middle]，还包含了keyValue=values[middle]，keyValue=values[middle]时就要first=middle，如果first=middle+1，就会错过这个“查找到”的数。
三.总结：
（1.）循环要符合代码运行的一致性和所代表的数据结构与算法的一致性。
（2.）算法细节受边界条件制约，解决边界问题，往往就容易实现正确的算法。而边界问题的处理，恰恰是算法难学的地方之一。
(3.)学习算法不能空想，唯有自行推导才能牢固。就像数学公式，唯有学完后去自行证明，才能活学活用。
