本篇将继续介绍基于时间序列分析的ARIMA模型，在这里温馨提示一下ARIMA本身包含回归预测的内容，如果对回归有疑问请查看前一篇关于回归的文章。
一、ARIMA介绍
ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average，自回归积分滑动平均模型）是一种非常常用的时间序列分析模型，用来预测数据的未来趋势。它适用于平稳的、无季节性的时间序列。
1.1 ARIMA 模型的组成
ARIMA 模型的全称揭示了它的三个核心组成部分：
**（ 1 ） ****AR (Auto-Regressive，自回归部分) **：表示当前值与之前一段时间的值之间存在线性关系。通过使用过去的观测值预测当前值。
参数：p，自回归项的阶数。表示使用多少个前期的值来进行预测。
**（ 2 ） ****I (Integrated，差分部分) **：表示通过计算数据的差分，使非平稳时间序列变得平稳。即通过减去前一个时刻的值消除趋势。
参数：d，差分的次数。差分的目的是为了去除趋势成分，使数据平稳化。
**（ 3 ） ****MA (Moving Average，移动平均部分) **：表示当前值与过去的预测误差的线性组合。即将过去的预测误差纳入当前预测。
参数：q，移动平均项的阶数。表示使用多少个过去的预测误差来预测当前值。
因此，ARIMA 模型用符号 ARIMA(p,d,q)表示，分别代表自回归项（p）、差分次数（d）和移动平均项（q）的阶数。
1.2 ARIMA 模型的 使用 步骤
**（ **1 **） **时间序列平稳性检验：在应用 ARIMA 模型之前，必须确保数据是平稳的。如果数据有显著的趋势或波动，需要通过差分（I 部分）来平稳化。
**（ **2 **） **选择模型参数：通过分析自相关函数 (ACF) 和偏自相关函数 (PACF) 图，或者通过自动化工具（如 auto_arima），确定模型参数 p、d、q。
**（ **3 **） **模型拟合：使用历史数据来拟合 ARIMA 模型，估计模型中的参数。
**（ **4 **） **预测未来值：利用拟合好的模型进行未来的预测。
二、ARIMA例子
我们将通过一个例子来阐述这个模型的使用，并没有融入过多复杂的数学公式，如果大家对原理感兴趣，请自行翻阅其他资料。为了方便理解，我们直接使用excel手工计算，如果数据量较大的情况下，建议使用专业软件工具处理。
假设某一家企业6年每个季度的销售数据如下：
| 季度**** | 销量**** |
|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 |
| 2018年2季度 | 4507 |
| 2018年3季度 | 5537 |
| 2018年4季度 | 8157 |
| 2019年1季度 | 6481 |
| 2019年2季度 | 6420 |
| 2019年3季度 | 7208 |
| 2019年4季度 | 9509 |
| 2020年1季度 | 6755 |
| 2020年2季度 | 6483 |
| 2020年3季度 | 7129 |
| 2020年4季度 | 9072 |
| 2021年1季度 | 7339 |
| 2021年2季度 | 7104 |
| 2021年3季度 | 7639 |
| 2021年4季度 | 9661 |
| 2022年1季度 | 7528 |
| 2022年2季度 | 7207 |
| 2022年3季度 | 7538 |
| 2022年4季度 | 9573 |
| 2023年1季度 | 7522 |
| 2023年2季度 | 7211 |
| 2023年3季度 | 7729 |
| 2023年4季度 | 9542 |
通过excel做图，我们可以观察到确实呈现出线性趋势，那么我们就可以利用回归进行数据分析预测：
2.1 回归预测
因为自变量并没有考虑其他维度数据，只考虑时间维度，我们可以使用前1季度（x1）和前2季度（x2）作为计算回归的因变量，计算预测值（y）。
| 季度**** | 销量**** | **销量（前 **1季度）******** | **销量（前 **2季度）******** |
|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | ||
| 2018年2季度 | 4507 | ||
| 2018年3季度 | 5537 | 4507 | 4452 |
| 2018年4季度 | 8157 | 5537 | 4507 |
| 2019年1季度 | 6481 | 8157 | 5537 |
| 2019年2季度 | 6420 | 6481 | 8157 |
| 2019年3季度 | 7208 | 6420 | 6481 |
| 2019年4季度 | 9509 | 7208 | 6420 |
| 2020年1季度 | 6755 | 9509 | 7208 |
| 2020年2季度 | 6483 | 6755 | 9509 |
| 2020年3季度 | 7129 | 6483 | 6755 |
| 2020年4季度 | 9072 | 7129 | 6483 |
| 2021年1季度 | 7339 | 9072 | 7129 |
| 2021年2季度 | 7104 | 7339 | 9072 |
| 2021年3季度 | 7639 | 7104 | 7339 |
| 2021年4季度 | 9661 | 7639 | 7104 |
| 2022年1季度 | 7528 | 9661 | 7639 |
| 2022年2季度 | 7207 | 7528 | 9661 |
| 2022年3季度 | 7538 | 7207 | 7528 |
| 2022年4季度 | 9573 | 7538 | 7207 |
| 2023年1季度 | 7522 | 9573 | 7538 |
| 2023年2季度 | 7211 | 7522 | 9573 |
| 2023年3季度 | 7729 | 7211 | 7522 |
| 2023年4季度 | 9542 | 7729 | 7211 |
因为采用前1季度和前2季度，前面会有一些空白项。
公式：y = w * x1 + w * x2 + b。利用excel回归分析可以直接求解。
直接将截距和x1、x2带入公式，求得预测值，通过观察折线图和数据表可以发现预测值与实际值差距较大，效果并不理想，另外观察R²也可以看出效果确实差强人意，只有0.04（上面红色部分）。
| 季度**** | 销量**** | **销量（前 **1季度）******** | **销量（前 **2季度）******** | 预测值 |
|---|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | |||
| 2018年2季度 | 4507 | |||
| 2018年3季度 | 5537 | 4507 | 4452 | 7455.01981 |
| 2018年4季度 | 8157 | 5537 | 4507 | 7643.94642 |
| 2019年1季度 | 6481 | 8157 | 5537 | 8011.71913 |
| 2019年2季度 | 6420 | 6481 | 8157 | 7360.93888 |
| 2019年3季度 | 7208 | 6420 | 6481 | 7561.72898 |
| 2019年4季度 | 9509 | 7208 | 6420 | 7719.32956 |
| 2020年1季度 | 6755 | 9509 | 7208 | 8057.09895 |
| 2020年2季度 | 6483 | 6755 | 9509 | 7241.71844 |
| 2020年3季度 | 7129 | 6483 | 6755 | 7538.98824 |
| 2020年4季度 | 9072 | 7129 | 6483 | 7696.32079 |
| 2021年1季度 | 7339 | 9072 | 7129 | 7983.99688 |
| 2021年2季度 | 7104 | 7339 | 9072 | 7408.16884 |
| 2021年3季度 | 7639 | 7104 | 7339 | 7583.0891 |
| 2021年4季度 | 9661 | 7639 | 7104 | 7714.62163 |
| 2022年1季度 | 7528 | 9661 | 7639 | 8031.38931 |
| 2022年2季度 | 7207 | 7528 | 9661 | 7369.47365 |
| 2022年3季度 | 7538 | 7207 | 7528 | 7578.72765 |
| 2022年4季度 | 9573 | 7538 | 7207 | 7682.35965 |
| 2023年1季度 | 7522 | 9573 | 7538 | 8027.45178 |
| 2023年2季度 | 7211 | 7522 | 9573 | 7379.48434 |
| 2023年3季度 | 7729 | 7211 | 7522 | 7580.24877 |
| 2023年4季度 | 9542 | 7729 | 7211 | 7718.17918 |
2.2 差分处理
差分是时间序列分析中的一个重要概念，主要用于将非平稳序列转换为平稳序列，便于分析和建模。差分的基本思想是通过对时间序列数据做“减法”来消除趋势或季节性影响，从而使序列平稳化。
差分的主要目的是：
1. ****消除趋势：在时间序列中，数据常常会随着时间的推移呈现出上升或下降的趋势。通过差分操作可以去除这一趋势，使数据更为平稳，便于建模。
2. ****消除季节性波动：一些时间序列中存在周期性的波动，如按月、季度或年度重复出现的波动。差分能够消除这种季节性影响。
3. ****让数据满足平稳性要求：很多时间序列模型（如ARIMA）假设输入数据是平稳的，而差分可以将不平稳数据转化为平稳数据。
4. ****减少自相关性：差分也可以减少自相关性，特别是在ARIMA等模型中，自相关性过强会影响模型效果。
举例来说，比如一阶差分，就是用当前值减去上一个值。假设有一组数据1、2、3、4、5，可以看出他们是呈现出趋势性的，如果用一阶差分，就是2-1、3-2……依次类推，结果是每一个数之间都相差1，这样就可以消除趋势性。2阶只是对一阶差分后的序列再进行一次差分，消除曲线趋势或加速序列的平稳化。
上面的例子我们之间使用1阶差分做计算：
| 季度**** | 销量**** | 一阶差分**** |
|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | |
| 2018年2季度 | 4507 | 55 |
| 2018年3季度 | 5537 | 1030 |
| 2018年4季度 | 8157 | 2620 |
| 2019年1季度 | 6481 | -1676 |
| 2019年2季度 | 6420 | -61 |
| 2019年3季度 | 7208 | 788 |
| 2019年4季度 | 9509 | 2301 |
| 2020年1季度 | 6755 | -2754 |
| 2020年2季度 | 6483 | -272 |
| 2020年3季度 | 7129 | 646 |
| 2020年4季度 | 9072 | 1943 |
| 2021年1季度 | 7339 | -1733 |
| 2021年2季度 | 7104 | -235 |
| 2021年3季度 | 7639 | 535 |
| 2021年4季度 | 9661 | 2022 |
| 2022年1季度 | 7528 | -2133 |
| 2022年2季度 | 7207 | -321 |
| 2022年3季度 | 7538 | 331 |
| 2022年4季度 | 9573 | 2035 |
| 2023年1季度 | 7522 | -2051 |
| 2023年2季度 | 7211 | -311 |
| 2023年3季度 | 7729 | 518 |
| 2023年4季度 | 9542 | 1813 |
一阶差分之后，发现数据还是有季节性，那么我们给数据做移动平均消除季节性。移动平均我们如何确定n，就是平均几个前面的值如何确定，我们也可以通过假设n值，再观察图形选取最合适的值。
比如我们分别对n选取3、4、5，分别代表取3个季度平均、4个季度平均、5个季度平均，做表得到：
| 季度**** | 销量**** | 一阶差分**** | 3个季度的移动平均**** | 4个季度的移动平均 | 5个季度的移动平均**** |
|---|---|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | ||||
| 2018年2季度 | 4507 | 55 | |||
| 2018年3季度 | 5537 | 1030 | |||
| 2018年4季度 | 8157 | 2620 | 1235 | ||
| 2019年1季度 | 6481 | -1676 | 658 | 507.25 | |
| 2019年2季度 | 6420 | -61 | 294.333333 | 478.25 | 393.6 |
| 2019年3季度 | 7208 | 788 | -316.33333 | 417.75 | 540.2 |
| 2019年4季度 | 9509 | 2301 | 1009.33333 | 338 | 794.4 |
| 2020年1季度 | 6755 | -2754 | 111.666667 | 68.5 | -280.4 |
| 2020年2季度 | 6483 | -272 | -241.66667 | 15.75 | 0.4 |
| 2020年3季度 | 7129 | 646 | -793.33333 | -19.75 | 141.8 |
| 2020年4季度 | 9072 | 1943 | 772.333333 | -109.25 | 372.8 |
| 2021年1季度 | 7339 | -1733 | 285.333333 | 146 | -434 |
| 2021年2季度 | 7104 | -235 | -8.3333333 | 155.25 | 69.8 |
| 2021年3季度 | 7639 | 535 | -477.66667 | 127.5 | 231.2 |
| 2021年4季度 | 9661 | 2022 | 774 | 147.25 | 506.4 |
| 2022年1季度 | 7528 | -2133 | 141.333333 | 47.25 | -308.8 |
| 2022年2季度 | 7207 | -321 | -144 | 25.75 | -26.4 |
| 2022年3季度 | 7538 | 331 | -707.66667 | -25.25 | 86.8 |
| 2022年4季度 | 9573 | 2035 | 681.666667 | -22 | 386.8 |
| 2023年1季度 | 7522 | -2051 | 105 | -1.5 | -427.8 |
| 2023年2季度 | 7211 | -311 | -109 | 1 | -63.4 |
| 2023年3季度 | 7729 | 518 | -614.66667 | 47.75 | 104.4 |
| 2023年4季度 | 9542 | 1813 | 673.333333 | -7.75 | 400.8 |
通过观察我们发现n=4，取4个季度的移动平均是最平稳的，那么我们就可以选择4个季度的移动平均参与后面的计算。
2.3 移动平均预测
我们继续使用回归计算移动平均后的预测值，此时x1=4个季度的移动平均（前1季），x2=4个季度的移动平均（前2季）：
| 季度**** | 4个季度的移动平均**** | 4个季度的移动平均（前1季）**** | 4个季度的移动平均（前2季）**** | 移动平均预测值**** |
|---|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | ||||
| 2018年2季度 | ||||
| 2018年3季度 | ||||
| 2018年4季度 | ||||
| 2019年1季度 | 507.25 | |||
| 2019年2季度 | 478.25 | |||
| 2019年3季度 | 417.75 | 478.25 | 507.25 | 317.08369 |
| 2019年4季度 | 338 | 417.75 | 478.25 | 275.204501 |
| 2020年1季度 | 68.5 | 338 | 417.75 | 222.056545 |
| 2020年2季度 | 15.75 | 68.5 | 338 | 30.9397831 |
| 2020年3季度 | -19.75 | 15.75 | 68.5 | 16.9735078 |
| 2020年4季度 | -109.25 | -19.75 | 15.75 | -4.3009794 |
| 2021年1季度 | 146 | -109.25 | -19.75 | -66.937804 |
| 2021年2季度 | 155.25 | 146 | -109.25 | 129.310946 |
| 2021年3季度 | 127.5 | 155.25 | 146 | 112.55625 |
| 2021年4季度 | 147.25 | 127.5 | 155.25 | 91.265019 |
| 2022年1季度 | 47.25 | 147.25 | 127.5 | 108.372544 |
| 2022年2季度 | 25.75 | 47.25 | 147.25 | 32.9015291 |
| 2022年3季度 | -25.25 | 25.75 | 47.25 | 26.3002593 |
| 2022年4季度 | -22 | -25.25 | 25.75 | -9.2748869 |
| 2023年1季度 | -1.5 | -22 | -25.25 | -2.1725411 |
| 2023年2季度 | 1 | -1.5 | -22 | 12.6251274 |
| 2023年3季度 | 47.75 | 1 | -1.5 | 12.5735615 |
| 2023年4季度 | -7.75 | 47.75 | 1 | 46.772948 |
可以观察到R²已经从简单回归预测的不到0.1上升到0.6了（上面红色部分），效果非常显著。
2.4 ARIMA预测
首先，我们把实际数据、一阶差分、移动平均的预测值整理为一张数据表：
| 季度**** | 销量**** | 一阶差分**** | 移动平均预测值**** |
|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | ||
| 2018年2季度 | 4507 | 55 | |
| 2018年3季度 | 5537 | 1030 | |
| 2018年4季度 | 8157 | 2620 | |
| 2019年1季度 | 6481 | -1676 | |
| 2019年2季度 | 6420 | -61 | |
| 2019年3季度 | 7208 | 788 | 317.08369 |
| 2019年4季度 | 9509 | 2301 | 275.204501 |
| 2020年1季度 | 6755 | -2754 | 222.056545 |
| 2020年2季度 | 6483 | -272 | 30.9397831 |
| 2020年3季度 | 7129 | 646 | 16.9735078 |
| 2020年4季度 | 9072 | 1943 | -4.3009794 |
| 2021年1季度 | 7339 | -1733 | -66.937804 |
| 2021年2季度 | 7104 | -235 | 129.310946 |
| 2021年3季度 | 7639 | 535 | 112.55625 |
| 2021年4季度 | 9661 | 2022 | 91.265019 |
| 2022年1季度 | 7528 | -2133 | 108.372544 |
| 2022年2季度 | 7207 | -321 | 32.9015291 |
| 2022年3季度 | 7538 | 331 | 26.3002593 |
| 2022年4季度 | 9573 | 2035 | -9.2748869 |
| 2023年1季度 | 7522 | -2051 | -2.1725411 |
| 2023年2季度 | 7211 | -311 | 12.6251274 |
| 2023年3季度 | 7729 | 518 | 12.5735615 |
| 2023年4季度 | 9542 | 1813 | 46.772948 |
其次，计算基于一阶差分的预测值和销量预测值。那么
·一阶差分的预测值=移动平均预测值*n（n=4季度）-前3季度差分预测值的和
·销售预测值=一阶差分的预测值+前一季度的销售预测值
计算结果如下表：
| 季度**** | 销量**** | 一阶差分**** | 移动平均预测值**** | 一阶差分预测值**** | **销量预测值（ **ARIMA）******** |
|---|---|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | 4452 | |||
| 2018年2季度 | 4507 | 55 | 55 | 4507 | |
| 2018年3季度 | 5537 | 1030 | 1030 | 5537 | |
| 2018年4季度 | 8157 | 2620 | 2620 | 8157 | |
| 2019年1季度 | 6481 | -1676 | -1676 | 6481 | |
| 2019年2季度 | 6420 | -61 | -61 | 6420 | |
| 2019年3季度 | 7208 | 788 | 317.08369 | 385.33476 | 6805.33476 |
| 2019年4季度 | 9509 | 2301 | 275.204501 | 2452.48325 | 9257.81801 |
| 2020年1季度 | 6755 | -2754 | 222.056545 | -1888.5918 | 7369.22618 |
| 2020年2季度 | 6483 | -272 | 30.9397831 | -825.46705 | 6543.75913 |
| 2020年3季度 | 7129 | 646 | 16.9735078 | 329.469659 | 6873.22879 |
| 2020年4季度 | 9072 | 1943 | -4.3009794 | 2367.3853 | 9240.61409 |
| 2021年1季度 | 7339 | -1733 | -66.937804 | -2139.1391 | 7101.47496 |
| 2021年2季度 | 7104 | -235 | 129.310946 | -40.472046 | 7061.00292 |
| 2021年3季度 | 7639 | 535 | 112.55625 | 262.450874 | 7323.45379 |
| 2021年4季度 | 9661 | 2022 | 91.265019 | 2282.22037 | 9605.67416 |
| 2022年1季度 | 7528 | -2133 | 108.372544 | -2070.709 | 7534.96514 |
| 2022年2季度 | 7207 | -321 | 32.9015291 | -342.35611 | 7192.60903 |
| 2022年3季度 | 7538 | 331 | 26.3002593 | 236.045794 | 7428.65483 |
| 2022年4季度 | 9573 | 2035 | -9.2748869 | 2139.91979 | 9568.57462 |
| 2023年1季度 | 7522 | -2051 | -2.1725411 | -2042.2996 | 7526.27497 |
| 2023年2季度 | 7211 | -311 | 12.6251274 | -283.16543 | 7243.10954 |
| 2023年3季度 | 7729 | 518 | 12.5735615 | 235.839531 | 7478.94907 |
| 2023年4季度 | 9542 | 1813 | 46.772948 | 2276.71733 | 9755.66641 |
最后，我们对比一下普通回归预测和用ARIMA预测的差距。
| 季度**** | 销量**** | **销量预测值（ **ARIMA）******** | 预测值（回归）**** |
|---|---|---|---|
| 2018年1季度 | 4452 | 4452 | |
| 2018年2季度 | 4507 | 4507 | |
| 2018年3季度 | 5537 | 5537 | 7455.01981 |
| 2018年4季度 | 8157 | 8157 | 7643.94642 |
| 2019年1季度 | 6481 | 6481 | 8011.71913 |
| 2019年2季度 | 6420 | 6420 | 7360.93888 |
| 2019年3季度 | 7208 | 6805.33476 | 7561.72898 |
| 2019年4季度 | 9509 | 9257.81801 | 7719.32956 |
| 2020年1季度 | 6755 | 7369.22618 | 8057.09895 |
| 2020年2季度 | 6483 | 6543.75913 | 7241.71844 |
| 2020年3季度 | 7129 | 6873.22879 | 7538.98824 |
| 2020年4季度 | 9072 | 9240.61409 | 7696.32079 |
| 2021年1季度 | 7339 | 7101.47496 | 7983.99688 |
| 2021年2季度 | 7104 | 7061.00292 | 7408.16884 |
| 2021年3季度 | 7639 | 7323.45379 | 7583.0891 |
| 2021年4季度 | 9661 | 9605.67416 | 7714.62163 |
| 2022年1季度 | 7528 | 7534.96514 | 8031.38931 |
| 2022年2季度 | 7207 | 7192.60903 | 7369.47365 |
| 2022年3季度 | 7538 | 7428.65483 | 7578.72765 |
| 2022年4季度 | 9573 | 9568.57462 | 7682.35965 |
| 2023年1季度 | 7522 | 7526.27497 | 8027.45178 |
| 2023年2季度 | 7211 | 7243.10954 | 7379.48434 |
| 2023年3季度 | 7729 | 7478.94907 | 7580.24877 |
| 2023年4季度 | 9542 | 9755.66641 | 7718.17918 |
可以看出效果还是非常显著的，ARIMA 模型是时间序列分析中最经典和广泛使用的模型之一，特别适用于那些没有明显季节性，但具有趋势和随机波动的时间序列。它通过自回归、差分和平滑误差来建模时间序列的变化，从而为未来的值提供准确的预测。其他的基于ARIMA的模型请大家自行研究或者和我们联系沟通，基本思路还是通过加入季节性等其他维度进行数据处理，比如SARIMA等。
小结：ARIMA适用场景
· 产品销量预测（如零售商品、线上订单）
· 财务指标预测（如销售额、利润）
· 需求和供应链管理中的预测
