算法分析：求字符串中最长的 回文 子串

【题目】 给定一个字符串 s，找到 s 中最长的 回文 子串。
示例 1：输入：s = "babad"；输出："bab"；解释："aba" 同样是符合题意的答案。 示例 2：输入：s = "cbbd"；输出："bb"
提示：1 <= s.length <= 1000；s 仅由数字和英文字母组成。
本文的分析参考自leetcode。
【方法】 中心扩展算法

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
		// 输入验证：首先检查输入字符串是否为空或长度小于 1，如果是则直接返回空字符串。
        if (s == null || s.length() < 1) {
            return "";
        }
		// 变量初始化：start和end用于记录最长回文子串的起始和结束位置。
        int start = 0, end = 0;
		// 对每个字符位置i，分别以i为中心（奇数长度回文）和以i与i+1为中心（偶数长度回文）调用expandAroundCenter方法。
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
            int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
			// 比较两种情况下得到的回文长度，取最大值。
            int len = Math.max(len1, len2);
			// 如果当前回文长度大于之前记录的最长长度，则更新start和end。
            if (len > end - start) {
                start = i - (len - 1) / 2;
                end = i + len / 2;
            }
			// 对于奇数长度的回文，中心位置为i，回文长度为奇数len，通过上述公式可以正确计算出起始和结束位置。
			// 对于偶数长度的回文，中心位置在i和i+1之间，回文长度为偶数len，同样可以通过上述公式正确计算出起始和结束位置。
        }
		// 返回结果：根据记录的起始和结束位置截取并返回最长回文子串。
        return s.substring(start, end + 1);
    }

	// 功能：从给定的中心位置（left和right）开始，向两边扩展，直到无法形成回文为止，并返回回文的长度。
    public int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
		// 扩展逻辑：在满足左右边界有效且对应字符相等的条件下，不断将左指针左移，右指针右移。
        while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
            --left;
            ++right;
        }
		// 长度计算：当循环结束时，left和right已经超出了回文的边界，因此回文的实际长度为right - left - 1。
        return right - left - 1;
    }
}

上面的解决方案采用了中心扩展法来寻找最长回文子串。
其核心思想是：遍历字符串中的每个字符，以该字符为中心（或该字符与其下一个字符为中心，处理偶数长度回文的情况），向两边扩展，尽可能地形成最长的回文子串。
下面进行复杂度分析。
时间复杂度：O (n²)，其中 n 是字符串的长度。对于每个字符位置，最多需要扩展 n/2 次。
空间复杂度：O (1)，只使用了常数级的额外空间。
下面是C++解决方案：

class Solution {
public:
	// 从给定的中心位置（left和right）开始，向两边扩展，直到无法形成回文为止，并返回回文的左右边界。
    pair<int, int> expandAroundCenter(const string& s, int left, int right) {
        while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) {
            --left;
            ++right;
        }
		// 当循环结束时，left和right已经超出了回文的边界，因此实际的回文边界是left + 1和right - 1，函数返回这对边界值。
        return {left + 1, right - 1};
    }

    string longestPalindrome(string s) {
        int start = 0, end = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            auto [left1, right1] = expandAroundCenter(s, i, i);
            auto [left2, right2] = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
            if (right1 - left1 > end - start) {
                start = left1;
                end = right1;
            }
            if (right2 - left2 > end - start) {
                start = left2;
                end = right2;
            }
        }
        return s.substr(start, end - start + 1);
    }
};