高效计算组合数（二项式系数）用C++代码实现了一个用于高效计算组合数（二项式系数）的预处理器，它通过预计算阶乘和阶乘的逆

以下C++代码实现了一个用于高效计算组合数（二项式系数）的预处理器，它通过预计算阶乘和阶乘的逆元来加速组合数计算。以下是详细解析：

核心功能

预计算阶乘数组 fact[]
- fact[i] = i! % MOD（i的阶乘对MOD取模）
- 例如：fact[3] = 3! = 6
预计算阶乘逆元数组 inv_fact[]
- inv_fact[i] = (i!)^(-1) % MOD（i的阶乘的模逆元）
- 用于避免除法，将除法转化为乘法（数论基础）
支持快速计算组合数 组合数公式： $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \mod \text{MOD}$ 可优化为： $\binom{n}{k} = \text{fact}[n] \times \text{inv\_fact}[k] \times \text{inv\_fact}[n-k] \mod \text{MOD}$

代码逐行解析

const int MOD = 1e9 + 7;  // 模数（质数）
const int MX = 1e5;       // 预计算的最大范围（100,000）
long long fact[MX];       // 存储阶乘 % MOD
long long inv_fact[MX];   // 存储阶乘的逆元 % MOD

void init() {
    // 检查是否已初始化（避免重复计算）
    if (fact[0]) return;

    // 1. 计算阶乘数组 [0!, 1!, ..., (MX-1)!] % MOD
    fact[0] = 1;  // 0! = 1
    for (int i = 1; i < MX; i++) {
        fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;  // 递推计算阶乘
    }

    // 2. 计算阶乘逆元数组
    // 2.1 用费马小定理计算最后一个元素的逆元
    inv_fact[MX - 1] = qpow(fact[MX - 1], MOD - 2);  // 快速幂求逆元

    // 2.2 倒序递推计算所有逆元
    for (int i = MX - 1; i > 0; i--) {
        inv_fact[i - 1] = inv_fact[i] * i % MOD;  // 关键递推关系
    }
}

关键技巧详解

1. 逆元递推关系（核心优化）

递推公式： $\text{inv\_fact}[i - 1] = \text{inv\_fact}[i] \times i \mod \text{MOD}$
数学推导：由定义知： $(i!)^{-1} \equiv \text{inv\_fact}[i] \mod \text{MOD}$ 两边乘以 $i$ 得到 $(i-1)!$ 的逆元： $(i!)^{-1} \times i \equiv ((i - 1)!)^{-1} \mod \text{MOD}$ （因为 $i! = i \times (i-1)!$ ）

2. 倒序计算逆元的原因

先计算最大的逆元 inv_fact[MX-1]（通过快速幂）
利用递推关系 反向计算 更小的逆元，避免对每个元素单独调用快速幂（时间复杂度从 $O(n \log n)$ 降至 $O(n)$ ）

使用示例

计算组合数 $\binom{n}{k}$ 的函数：

long long nCr(int n, int k) {
    if (k < 0 || k > n) return 0;
    init();  // 确保已初始化
    return fact[n] * inv_fact[k] % MOD * inv_fact[n - k] % MOD;
}

调用示例：

cout << nCr(5, 2);  // 输出 C(5,2)=10 % MOD

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$ （初始化仅需遍历两次数组）
空间复杂度： $O(n)$ （存储两个长度为 MX 的数组）

应用场景

组合数学问题（如排列组合计数）
概率与统计（多项式系数计算）
动态规划优化（将组合数计算从 $O(n)$ 降至 $O(1)$ ）
算法竞赛（如Codeforces/LeetCode中需要快速计算大组合数的问题）