《解剖递归与动态规划：以斐波那契数列为例的思维跃迁》

3Katrina
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前言

大家好，今天给大家介绍一道我们耳熟能详的算法题--斐波那契数列，通过这道题，我们给大家深度介绍递归、递归的记忆化优化、以及动态规划思想！


斐波那契数列简介

斐波那契数列是一个经典的数学序列，定义如下：

  • F(0) = 0
  • F(1) = 1
  • F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)

这个数列的前几项是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...


递归做法

如何想到递归——大问题拆解成子问题

递归是一种将大问题分解为相似子问题的解题方法。对于斐波那契数列，我们的大问题是求F(n)，根据定义，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，这意味着：

  • 要计算F(n)，需要先知道F(n-1)和F(n-2)
  • 而F(n-1)又依赖于F(n-2)和F(n-3)，依此类推

所以这就是我们的子问题，所以我们就成功将大问题，转化成更小规模的子问题了，通过解决子问题，从而可以最终解决大问题。


自顶向下思考

递归采用的是"自顶向下"的思考方式——我们从终点问题出发，逐步将其分解为更小的子问题，直到达到已知的基础情况。

function fibonacci(n) {
    if (n === 0) return 0;
    if (n === 1) return 1;
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

记忆化

重复计算问题分析

我们上面提供的解法虽然能够解决问题，但是却会出现一个显而易见的问题，重复计算，以计算F(5)为例：

image.png

F(5) = F(4) + F(3)
     = (F(3) + F(2)) + (F(2) + F(1))
     = ((F(2) + F(1)) + (F(1) + F(0))) + ((F(1) + F(0)) + F(1))

可以看到F(2)被计算了2次，F(1)被计算了5次，F(0)被计算了3次。

重复计算随之可能会带来一个问题：爆栈，我们知道递归本质上是通过栈实现的，每一次进入到递归函数则会入栈，所以重复计算会带来很多不必要的入栈，导致可能这个栈到达上限，此时再进行入栈，导致栈的大小不够用，也就是爆栈。所以我们需要优化


使用闭包实现

我们可以通过存储已计算结果来避免重复计算，在JS中，我们可以利用JS的独特的闭包来存储，我们知道，闭包是函数能够记住它所在的词法作用域，所以我们创建一个闭包环境，在递归中，记住已经计算过的数，下次再访问到这个数时，就可以直接从存储中拿，从而避免重复计算

闭包实现：

function memoizedFibonacci() {
    const cache = [0, 1];
    
    return function fib(n) {
        if (cache[n] !== undefined) return cache[n];
        cache[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
        return cache[n];
    }
}

const fibonacci = memoizedFibonacci();


动态规划做法

从递归到动态规划

上文提到，我们在使用递归分析时，采用了"自顶向下"的方式，从最终的结果往下推，构造树形结构。

而我们要使用动态规划分析的话，则采用"自底向上"的方式，从基础情况开始逐步构建最终解，我们发现从第i-1个数的状态和第i-2的状态能够推出第i个数的状态，这个推导适用于整个斐波那契数列，那么我们就可以思考使用动态规划了。

动态规划做题五部曲

我们在做动态规划的题目时，我强烈建议你遵守下面由程序员卡尔提出的动规五部曲，不论是简单题，还是难题，形成这一套方法论，能让我们处理动规题时，思路更加清晰，不会出现做着做着发现自己越分析越混乱的情况。

  1. 思考dp数组以及下标的含义
  2. 思考状态转移方程
  3. 确定初始值
  4. 确定顺序
  5. 打印数组验证

在这道简单题中，我们也要用这种方式分析，目的是帮我们巩固这一套方法论，形成良好的思考习惯。

  1. 定义dp数组及下标含义：

    • dp[i]表示第i个斐波那契数

  2. 状态转移方程：

    • dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

  3. 确定初始值：

    • dp[0] = 0
    • dp[1] = 1

  4. 确定计算顺序：

    • 从i=2开始到i=n依次计算

  5. 验证：

    • 可以打印前几项验证结果是否正确

所以我们最终动规的代码为：

function fibonacciDP(n) {
    if (n === 0) return 0;
    if (n === 1) return 1;
    
    let dp = [0, 1];
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

动态规划的应用范围

动态规划特别适合解决具有以下特征的问题：

  1. 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解
  2. 重叠子问题：不同的子问题会重复计算相同的更小子问题
  3. 无后效性：当前状态只与之前的状态有关，与之后的状态无关

常见应用场景包括：

  • 最长公共子序列
  • 背包问题
  • 最短路径问题
  • 股票买卖问题等

结尾

斐波那契数列问题展示了算法优化的完整路径：

  1. 从直观的递归解法开始
  2. 发现重复计算问题，引入记忆化优化
  3. 进一步转化为更高效的动态规划解法
  4. 最后进行空间优化

理解这个过程对于培养算法思维非常重要，它教会我们如何分析问题、识别问题特征，并选择最合适的解法。动态规划作为解决最值问题的强大工具，值得每个程序员深入学习和掌握。

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