🧩 故事背景：金币搬运工的优化之路
假设你是一名金币搬运工，每天要把阶梯上的金币搬到仓库（阶梯共n级）。规则：
- 每次只能搬1或2级（防止闪腰）
- 目标：计算搬完所有金币的不同方式总数
- 噩梦场景：直接递归的灾难（见下图👇）
💡 问题核心：计算
f(10)需先算f(9)和f(8)，但算f(9)时又重复计算f(8)→ 指数级重复（时间复杂度O(2^n)）
⚙️ 一、DP核心思想：存档点破解重复困局
1. 三大黄金特征
| 特征 | 解释 | 搬金币示例 |
|---|---|---|
| 重叠子问题 | 子问题被重复计算 | f(8)被计算4次 |
| 最优子结构 | 大问题解由小问题最优解组成 | f(10)=f(9)+f(8) |
| 无后效性 | 当前决策不受后续决策影响 | 迈出1步后，剩余问题与之前无关 |
2. 两种破解姿势
- 备忘录法（自顶向下）：准备笔记本记录已算过的台阶（递归+哈希表）
- DP表法（自底向上）：从第1级开始逐级填表，避免递归
🧪 二、Java实战：四种解法完整代码
解法1：暴力递归（反面教材）
java
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// 时间复杂度O(2^n) n=40时需计算1万亿次！
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n;
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
解法2：备忘录法（空间换时间）
java
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// 时间复杂度O(n) 空间O(n)
public int climbMemo(int n) {
int[] memo = new int[n + 1]; // 备忘录数组
return dp(n, memo);
}
private int dp(int n, int[] memo) {
if (n <= 2) return n;
if (memo[n] != 0) return memo[n]; // 已计算则直接读档
memo[n] = dp(n - 1, memo) + dp(n - 2, memo); // 存档
return memo[n];
}
解法3：DP表法（推荐⭐）
java
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// 时间复杂度O(n) 空间O(n)
public int climbDP(int n) {
if (n <= 2) return n;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1; // 初始化存档点
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移方程
}
return dp[n];
}
解法4：DP空间优化（滚动存档）
java
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// 时间复杂度O(n) 空间O(1)
public int climbOpt(int n) {
if (n <= 2) return n;
int a = 1, b = 2, c = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
c = a + b; // 当前状态=前两状态之和
a = b; // 滚动更新存档
b = c;
}
return c;
}
📊 性能对比表：
方法 时间复杂度 空间复杂度 适用场景 暴力递归 O(2^n) O(n) ❌ 永远别用 备忘录法 O(n) O(n) ✅ 树形问题 DP表法 O(n) O(n) ✅ 常规一维DP 滚动存档 O(n) O(1) ✅ 斐波那契变种
🔍 三、DP灵魂：状态转移方程
在搬金币问题中，我们总结出：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
如何自己写出状态方程？三步法：
- 定义状态：
dp[i]表示i级台阶的走法数 - 思考选择：最后一步是走1阶还是2阶？
- 关联子问题：走1阶→剩余i-1阶；走2阶→剩余i-2阶
🌰 案例扩展：若允许走1/2/3阶？
方程变为：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
🏰 四、多维DP实战：国王挖金矿
问题：10个工人挖5座金矿，每座金矿需不同人数，求最大收益
1. 状态定义
dp[i][w] = 用w个工人挖前i座矿的最大收益
2. 状态转移方程
java
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// 两种情况：挖第i座矿 或 不挖
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w], // 不挖i矿→沿用前i-1座矿收益
dp[i-1][w - need[i]] + gold[i] // 挖i矿→剩余工人挖前i-1座
);
3. Java代码实现
java
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public int maxGold(int workers, int[] gold, int[] need) {
int n = gold.length;
int[][] dp = new int[n + 1][workers + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int w = 0; w <= workers; w++) {
if (w < need[i-1]) {
dp[i][w] = dp[i-1][w]; // 工人不够挖当前矿
} else {
int notDig = dp[i-1][w];
int dig = dp[i-1][w - need[i-1]] + gold[i-1];
dp[i][w] = Math.max(notDig, dig);
}
}
}
return dp[n][workers];
}
执行过程可视化（工人=10，金矿收益=[500,400,350,300,200]，需人力=[5,5,3,4,3]）：
| 金矿数\人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1座矿 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 500 | 500 | 500 | 500 | 500 | 500 |
| 2座矿 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 500 | 500 | 500 | 500 | 500 | 900 |
| 3座矿 | 0 | 0 | 0 | 350 | 350 | 500 | 500 | 500 | 850 | 850 | 900 |
| 最终解→ dp[5][10]=900 |
💎 五、DP解题框架：六步通关法
-
判题型：求最值/计数/可行性+重叠子问题→想DP
-
定状态：定义
dp[i]或dp[i][j]的含义 -
建方程：思考如何用
dp[<i]推导dp[i] -
初始化：设置起点值（如
dp[0]=1） -
定方向：自底向上（推荐）or自顶向下
-
空间优化：用滚动数组/变量压缩空间
🚀 高频DP题型：
- 一维：爬楼梯、打家劫舍、单词拆分
- 二维：最长公共子序列、编辑距离、背包问题
- 树形：二叉树偷钱、监控二叉树
💡 终极总结：DP思维导图
面试速记口诀：
重叠子，最优子，状态转移要搞清。
暴力递归重复多，备忘录里记分明。
自底向上效率高，滚动数组更聪明！
理解后尝试用DP解决LeetCode 70题（爬楼梯）和 322题（零钱兑换），体验存档点破解重复计算的魔力。掌握动态规划，算法面试的50%难题将迎刃而解！
