快速幂算法

该函数 qpow 实现了快速幂算法（Fast Exponentiation），用于高效计算幂运算$x^n$mod MOD的结果（其中 MOD 是一个全局常量）。以下是详细说明：

功能：

计算 x 的 n 次幂，并对全局常量取模，即返回$x^n$mod MOD的值。

算法原理：

1. 二进制分解指数 n： 将指数 n 视为二进制形式（例如 n=13 的二进制为$1101_2=8+4+1$)，则：

   $$x^n=x^{2^{k_1}+2^{k_2}+⋯}=x^{2^{k_1}} \times x^{2^{k_2}} \times \cdots$$

2. 平方迭代： 通过循环反复平方 x（即 x ← $x^2$ mod  MOD），生成的$x^1,x^2,x^4,x^8,...$的序列。

3. 按位累积结果： 遍历 n 的二进制位。若某位为1，则将当前的 x 累积到结果 res 中。

代码解析：

long long qpow(long long x, int n) {
    long long res = 1;          // 初始化结果为 1
    while (n) {                 // 当指数 n 未处理完时循环
        if (n & 1) {            // 检查 n 的最低位是否为 1
            res = res * x % MOD; // 若为 1，累积当前 x 到结果（取模）
        }
        x = x * x % MOD;        // 平方迭代：x = x^2 mod MOD
        n >>= 1;                // 右移一位（等价于 n /= 2）
    }
    return res;                 // 返回最终结果
}

示例：

以 x=2,n=13,MOD=1000 为例：

1. 初始化： res = 1, x = 2, n = 13 (二进制 1101).
2. 循环步骤：
   • 迭代 1：n & 1 = 1 → res = 1 * 2 % 1000 = 2 x = 2^2 % 1000 = 4, n = 6 (二进制 110).
   • 迭代 2：n & 1 = 0 → 不更新 res x = 4^2 % 1000 = 16, n = 3 (二进制 11).
   • 迭代 3：n & 1 = 1 → res = 2 * 16 % 1000 = 32 x = 16^2 % 1000 = 256, n = 1 (二进制 1).
   • 迭代 4：n & 1 = 1 → res = 32 * 256 % 1000 = 8192 % 1000 = 192 x = 256^2 % 1000 = 65536 % 1000 = 536, n = 0.
3. 返回结果： res = 192（即 $2^{13} mod  1000 = 8192 mod  1000=192$）。

关键点：

• 时间复杂度：O(logn)，远优于朴素循环 O(n)。
• 模运算优化：每一步乘法和平方后立即取模，避免溢出。
• 适用场景：大数幂运算（如密码学、组合数学中常见的模幂计算）。
• 注意事项：
  • 假设 MOD 是全局定义的常量。
  • 指数 n 必须为非负整数（负数会导致死循环）。