前后文无关文法和语言

前后文无关文法和语言

$A+B = \{w | w\in A\ 或\ w\in B\}$ （相当于取交集）

$AB = \{xy| x\in A\ 或\ y\in B\}$（乘法）

$A^0 = \{\varepsilon\}$ （是一个集合，集合中有一个元素，元素是空串）

$A^+ = \sum\limits_{i = 1}^TA^i = A^1 + A^2 + ... + A^T$

$A^* = \sum\limits_{i = 0}^{T}A^i = A^0 + A^+ = \{\varepsilon\} + A^+$

文法G[S]

• 文法是一个四元式
  • $(V_N, V_T, P, S)$
  • $V_N$：非终结符号集
  • $V_T$：终结符号集
  • $P$：产生式集
  • $S$：开始符号

[!TIP]

一个文法均有产生式，如：

$S \rightarrow aSb$

首先，产生式左部一定有非终结符

产生式的右部一般有终结符（至少有一个产生式右部有终结符，否则文法无意义）

另外，文法一定有开始符号，用于标识文法推导应该从哪个非终结符开始。

对于一个句子，开始符式就是：句子 这个 非终结符（类记号）

分析文法

自顶向下

• 最左推导：被替换的非终结符总是当前字符串的最左非终结符
• 最右推导：被替换的非终结符总是当年潜伏好的最右非终结符 最右推导，也称为规范推导   $(规范推导)\mathop{\longrightarrow}\limits^{右句型}规范句型$

自底向上

• 最右归约：被规约的总式当前符号串最右
• 最左归约： （规范规约）

[!TIP]

最左推导的逆过程就是最右规约

最右推导的逆过程就是最左规约

$\Delta$ 语法树

• 子树：任一节点 及其 全部后继
• 直接子树（树高为1）：子树根只有直接后继？

[!tip]

直接后继：在树中，一个节点的直接后继式其直接的孩子节点。

        *
       / \
      +   5
     / \
    3   4

以+为根的子树

  +
 / \
3   4

$3$，$4$就是$+$的直接后继

• 一棵语法树 $\longleftrightarrow$ 多种推导序列

• 一棵语法树 $\longleftrightarrow$ 唯一最左推导和最右推导 二义性判断会用到

• $\Delta$ 二义性文法：$L(G)$ 的某个句子对应不止一个 最左/最右 推导 即，L(G)中某个句子，对应不止一个语法树

• $\Delta$ 无二义性文法：该文法所产生的每个句子都仅右一棵语法树

[!tip] L(G) 是文法 G 能生成的所有合法句子的集合。

[!tip]

对于文法 $G:\{\ S \rightarrow S +S \ |\ S*S\ |\ a\ \}$

句子 $a + a * a$ 的二义性：

1. 最左推导1（先展开第一个 $S$ 为 $S+S$）：

   语法树：

       S
      /|\
     S + S
    a   /|\
       S * S
       a   a
   

   （等价于 $(a) + (a * a)$）

2. 最左推导2（先展开第二个 $S$ 为 $S*S$）：

   语法树：

       S
      /|\
     S * S
    /|\   a
   S + S
   a   a
   

   （等价于 $(a + a) * a$）

这两个推导对应 不同的语法树，导致运算优先级不同（乘法优先 vs. 加法优先），因此 $G$ 是二义性文法。

• $\Delta$短语：每颗子树的叶子
• 直接短语：每棵直接子树的叶子
• 句柄：某句型的最左直接短语（即规范分析中最先被规约的子串）
• 素短语：至少包含一个终结符 且不包含更小素短语的短语

[!tip]

对于，语法树：

       S
      /|\
    S * S
  /|\   a
S + S
a   a

其叶子，即

a + a * a

[!warning]

最右推导，找最左直接短语

因为替换是反向操作，最左直接短语是最后被替换为终结符的

就应该最先被替换为非终结符

$\Delta$化简文法

1. 从$S$开始一步步看，将含有永远消不掉的符号的产生式消去 所有的（无用符号，无用产生式）

   因为，产生式是用来产生仅由终结符组成的句子的，无法终结，即产生式无法产生句子，故无用

2. 删 $\varepsilon$-产生式 $A \rightarrow \varepsilon$

3. 删 形如 $A\rightarrow B$ 的 单产生式