递归的奇妙世界：从阶乘到股票，算法思维的华丽转身
🎯 前言：递归，那个让人又爱又恨的家伙
说到递归，相信很多程序员都有过这样的经历：第一次接触时觉得它神秘莫测，像是数学界的魔法；深入了解后发现它优雅简洁，仿佛找到了解决问题的万能钥匙；但真正用起来时，又常常被栈溢出搞得焦头烂额...
今天，让我们一起走进递归的奇妙世界，看看它是如何在算法的舞台上演绎「分而治之」的精彩好戏！
🔍 递归的本质：俄罗斯套娃的编程版
什么是递归？
递归是一种算法思想，一个函数在函数体中调用函数本身
简单来说，递归就像俄罗斯套娃：
- 每个娃娃里面都有一个更小的娃娃（问题分解）
- 直到最小的那个娃娃不能再拆开（终止条件）
- 然后从最小的开始，一层层往外组装（结果合并）
递归的两大法宝
- 问题分解：把大问题拆成规模更小的相同问题
- 终止条件：找到最简单的情况，让递归能够"刹车"
🎪 实战演练：从阶乘到斐波那契
第一站：阶乘的递归之旅
让我们从最经典的阶乘开始。展示了两种实现方式：
传统循环版本：
function mul(n){
let res = 1
for(let i = n; i >= 1; i--){
res *= i
}
return res
}
递归版本：
function factorial(n) {
if (n === 0) {
return 1;
} else {
return n * factorial(n - 1);
}
}
看到区别了吗？递归版本更加简洁优雅，就像是在说："n的阶乘？简单，就是n乘以(n-1)的阶乘嘛！"
第二站：斐波那契的"兔子繁殖"问题
接下来要给我们展示斐波那契数列的两种解法：
纯递归版本：
function fibonacci(n) {
if (n === 1 || n === 2) {
return 1;
} else {
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
}
这个版本虽然逻辑清晰，但有个致命问题：重复计算！计算 fibonacci(5) 时，fibonacci(3) 会被计算多次，效率极低。
优化版本：动态规划（记忆搜索法）
function fibonacci2(n) {
let arr = [];
arr[1] = 1;
arr[2] = 1;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
}
return arr[n];
}
这就是传说中的"记忆搜索法"——用空间换时间，避免重复计算。
🏃♂️ 爬楼梯：递归思维的实际应用
下面展示了一个经典的递归问题：
问题描述： 爬楼梯，每次可以爬1或2个台阶，问有多少种方法爬到第n阶？
递归思路： 要到达第n阶，可以从第(n-1)阶爬1步，或从第(n-2)阶爬2步。所以：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
咦？这不就是斐波那契数列吗！
// 动态规划版本
var climbStairs = function(n) {
let arr = [];
arr[1] = 1;
arr[2] = 1; // 注意：这里arr[2] = 1，因为爬到第2阶有2种方法
for (let i = 3; i <= n; i++) {
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
}
return arr[n];
}
💰 股票交易：递归思维的商业应用
最后，让我们看看股票交易里面的递归问题。
虽然这道题最优解不是递归，但它展示了从暴力解法到优化解法的思维过程：
暴力解法（O(n²)）：
function maxProfit(prices) {
let maxProfit = 0;
for (let i = 0; i < prices.length - 1; i++) {
for (let j = i + 1; j < prices.length; j++) {
let profit = prices[j] - prices[i];
maxProfit = Math.max(maxProfit, profit);
}
}
return maxProfit;
}
优化解法（O(n)）：
function maxProfit(prices) {
if (prices.length <= 1) return 0;
let minPrice = prices[0]; // 记录到目前为止的最低价格
let maxProfit = 0; // 记录最大利润
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
if (prices[i] < minPrice) {
minPrice = prices[i];
} else {
maxProfit = Math.max(maxProfit, prices[i] - minPrice);
}
}
return maxProfit;
}
动态规划版本：
function maxProfit(prices) {
if (prices.length <= 1) return 0;
let minPrice = prices[0];
let dp = new Array(prices.length).fill(0);
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
minPrice = Math.min(minPrice, prices[i]);
dp[i] = Math.max(dp[i-1], prices[i] - minPrice);
}
return dp[prices.length - 1];
}
🎭 递归 vs 动态规划：算法界的"双生花"
通过这些例子，我们发现了一个有趣的现象：很多递归问题都可以用动态规划来优化。它们的关系就像是：
- 递归：自顶向下，先分解问题再合并结果
- 动态规划：自底向上，先解决小问题再构建大问题
何时选择递归？
✅ 适合递归的场景：
- 问题具有明显的子结构
- 代码逻辑清晰，易于理解
- 数据规模不大，不担心栈溢出
❌ 不适合递归的场景：
- 存在大量重复计算
- 递归深度过大
- 对性能要求极高
记忆搜索法：两者的完美结合
记忆搜索法巧妙地结合了递归的思维清晰和动态规划的高效性能：
- 保持递归的代码结构
- 用数组缓存已计算的结果
- 避免重复计算
🚀 实战技巧：递归的"避坑"指南
1. 明确终止条件
// ❌ 错误：没有终止条件
function badRecursion(n) {
return badRecursion(n - 1);
}
// ✅ 正确：有明确的终止条件
function goodRecursion(n) {
if (n <= 0) return 1; // 终止条件
return n * goodRecursion(n - 1);
}
2. 注意栈溢出
// 对于深度较大的递归，考虑使用迭代或尾递归优化
function fibonacci(n, a = 1, b = 1) {
if (n <= 1) return a;
return fibonacci(n - 1, b, a + b); // 尾递归
}
3. 善用记忆化
function fibonacciMemo(n, memo = {}) {
if (n in memo) return memo[n];
if (n <= 2) return 1;
memo[n] = fibonacciMemo(n - 1, memo) + fibonacciMemo(n - 2, memo);
return memo[n];
}
🎉 总结：递归的哲学思考
递归不仅仅是一种编程技巧，更是一种思维方式。它教会我们：
- 分而治之：复杂问题可以分解为简单问题
- 自相似性：大问题和小问题本质相同
- 边界意识：任何递归都需要明确的停止条件
- 优化思维：从能跑到跑得快的进化过程
正如那句经典的话："要理解递归，首先要理解递归。" 😄
递归就像是程序员的"哲学课"——它让我们学会用更抽象、更优雅的方式思考问题。虽然有时候会让人头疼，但一旦掌握，你会发现它是解决复杂问题的强大武器。
最后的建议： 学习递归最好的方法就是多练习，从简单的阶乘、斐波那契开始，逐步挑战更复杂的问题。记住，每一个递归大师都是从栈溢出的"坑"里爬出来的！
愿你在递归的世界里，既能享受"分而治之"的快感，也能避开"栈溢出"的陷阱！ 🎯
