🧠 题目回顾：
我们要统计满足以下条件的长度为 2n 的“有趣数列”有多少个（结果对 p 取模）：
- 是
1到2n的一个排列（不重复、无遗漏）。 - 所有奇数项严格递增，如
a[1] < a[3] < a[5] < ...。 - 所有偶数项也严格递增，如
a[2] < a[4] < a[6] < ...。 - 每对相邻项（奇数位和偶数位）满足：
a[2i-1] < a[2i]。
🧩 观察“模式”：这不就是“配对 + 排列”？
我们可以尝试从小的例子开始，比如：
n = 1，长度为2：
所有排列：
- (1,2)：符合（奇数项是1，偶数项是2，递增）✅
- (2,1)：不行（1不是偶数项，而且1>2）❌
答案是 1。
n = 2，长度为4：
要求奇数项（a[1], a[3]）递增，偶数项（a[2], a[4]）递增，且每对(a[1],a[2])、(a[3],a[4])满足a[1]<a[2]，a[3]<a[4]。
你会发现，这其实很像我们从一个有序栈里出栈的操作。
🧱 引入“栈”的比喻：栈中合法出栈序列
我们可以借用“栈”的知识来建模：
- 把奇数位置当作“入栈”的顺序（要递增）。
- 偶数位置当作“出栈”的顺序（也要递增）。
- 每对(a[i], a[i+1])满足a[i] < a[i+1]：就像先入后出。
🏗️ 重点变成“卡特兰数”（Catalan Number）
其实，这个问题变成了：从1到2n中挑出n个数字，放在奇数位递增，剩下n个数字放在偶数位也递增，并且奇位的每个数字都小于对应偶位的数字。
这个组合过程可以用“卡特兰数”来解决。
📌 什么是卡特兰数？
卡特兰数（Catalan Number）是一个经典的数学数列，用来解决很多“括号匹配”“合法出栈序列”“二叉树构造”等问题。
第 n 个卡特兰数的公式是：
''''''''''';./;.L?.;.,/.,,L.,.KMJK,LKMJNHJMKL;KLOKIJUIKOJUHYUJIUYTYUI8U7Y6T5T675656001425487542158/5623659*9+6 36+96 3..0212121 7174 ] ]'[] ]'[] ][=[-=\
✅ 本题的解法是：
我们要构造 n 个“合法对”，满足“左边小于右边”，每个“奇数位 < 偶数位”，并且两个子序列递增。
这正好是第 n 个卡特兰数的场景。
🧮 如何编程实现？
由于 n 可能达到 10610^6106，我们需要快速求组合数模 p（用快速幂和阶乘逆元）。
📚 教学建议：
第一步：复习“栈”的基本概念
- 入栈：先进后出
- 出栈序列：哪些出栈顺序是合法的？
第二步：讲一个经典题目
- 题目：栈中元素 1~n 入栈，有多少种合法的出栈序列？答案是卡特兰数！
第三步：引导学生“套用场景”
- 本题可以看作是 n 对数满足“奇数项小于偶数项”，并且都单调递增
- 相当于 n 个“合法括号对”，或“合法栈操作序列”
第四步：引入卡特兰数计算公式
- 推导组合数公式
- 模运算 + 逆元计算技巧
