勾股定理的两种证明

用户986713547861

2025-05-22 801 阅读8分钟

勾股定理的两种证明

问题陈述

勾股定理:如图，直角三角形的两直角边为和，斜边为，则有

基础知识

正方形面积：长方形（矩形）是一种四边形，其对边平行且相等，四个角均为直角（ $90^\circ$ ）。其妙计是指该图形所占据平面的大小。数学上，若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为

$S=ab \\$

三角形相似：两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。相似三角形的形状相同，但大小可以不同。数学上，若 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ，则满足
- 对应角相等： $\angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E, \quad \angle C = \angle F$
- 对应边成比例：

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \\$

证明

方法一（相似三角形法）

如图，由相似三角形，我们可以得到

$\frac{a}{c}=\frac{e}{a},\quad(1) \\$ $\frac{b}{c}=\frac{d}{b},\quad(2) \\$

解得出和。

由式（1）和（2），我们得到

$e=\frac{a^2}{c} \\$ $d=\frac{b^2}{c} \\$

将斜边表示出来。

斜边可表示为

$c = e + d = \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c} \\$

化简得结论

$c^2=a^2+b^2 \\$

方法二（面积法）

构造图形

在直角三角形 ABC （直角为C）三个边上分别向外作正方形 ABDE ， BCFG ， ACHI

构造关键辅助线

并且过点做三角形斜边的垂线垂足为，并且延长交为。

证明面积相等

即证： $S_{正方形ACHI}=S_{矩形AEKJ}=b^2$

结论1：三角形面积相等： $S_{\triangle ACI}=S_{\triangle AIJ}=\frac{1}{2}b^2$

因为 AI // HC ,则 $\triangle ACI$ 和 $\triangle AIJ$ 同底等高，即 $S_{\triangle ACI}=S_{\triangle AIJ}=\frac{1}{2}b^2$

结论2：三角形面积相等： $S_{\triangle ACI}=S_{\triangle AIJ}=\frac{1}{2}b^2$

同理，因为 AE // CK ,则 $\triangle CAE$ 和 $\triangle JAE$ 同底等高，即 $S_{\triangle CAE}=S_{\triangle JAE}$

结论3：三角形全等： $\triangle AIJ\cong\triangle ACE$

因为 AI=AC ， AJ=AE ， $\angle{IAB}=90^{\circ}+\angle{CAB}=\angle{CAE}$ ，由三角形全等（SAS），得到 $\triangle AIC\cong\triangle AEC$ 。

结论4：正方形面积等于矩形面积： $S_{正方形ACHI}=S_{矩形AEKJ}$

由图，可得

$S_{正方形ACHI}=2S_{\triangle ACI}=2S_{\triangle AIJ}=2\cdot \frac{1}{2}b^2=b^2=2S_{\triangle AEC}=2S_{\triangle JAE}=S_{矩形AEKJ} \\$

同理，证明另一侧面积相等

即证： $S_{正方形BCFG}=S_{矩形BDKJ}=a^2$

完成勾股定理证明

两矩形 AEKJ 和矩形AEKJ 组成正方形 ABDE 的面积，故

$a^2 + b^2 = c^2 \\$

结论

勾股定理:如图，直角三角形的两直角边为和，斜边为，则有