实数间无理数存在的证明

实数间无理数存在的证明

问题陈述

特别地，任意两个实数之间存在无限多个无理数。

如果$a$和$b$是实数且$a<b$，证明存在至少一个无理数$c$满足$a<c<b$，从而存在无限多个这样的无理数。

基础知识

• 有理数：可以表示为两个整数之比的数，即$\frac{p}{q}$，其中$p,q$是整数，$q\neq0$。
• 无理数：不能表示为两个整数之比的实数，例如$\sqrt{2},\pi$等。
• 实数的稠密性：有理数和无理数在实数中都是稠密的，即在任何两个不同的实数之间都存在无限多个有理数和无限多个无理数（如果需要搞清这个的证明，需要公理化体系佐证·挖个坑后续补充）。
• 阿基米德性质：对于任意实数$x$，存在自然数$n$使得$n>x$。

证明（证明1+证明2）

证明1：至少存在一个无理数$c$满足$a<c<b$ 。

证明2：存在无限多个无理数$c$满足$a<c<b$。

证明1：至少存在一个无理数$c$满足$a<c<b$ 。

方法一：利用已知的无理数构造

构造实数$c$满足$a<c<b$

我们知道$\sqrt{2}$是一个无理数，且$0<\sqrt{2}<2$，我们可以利用其来构造所需的无理数。

• 因为$a<b$，所以$b-a>0$。
• 由阿基米德性质，存在整数$n$，使得$n>\frac{\sqrt{2}}{b-a}$，即$\frac{\sqrt{2}}{n}<b-a$。（这里也可以用极限的思维得到）
• 令$c=a+\frac{\sqrt{2}}{n}$，则$c=a+\frac{\sqrt{2}}{n}<a+(b-a)=b$
• 而$c>a$，所以$a<c<b$。

证明上述$c$为无理数

• 反证法，假设$c$为有理数，即$c=a+\frac{\sqrt{2}}{n}$为有理数，因为$a$是实数，分类讨论
  • 若$a$为有理数，那么$\frac{\sqrt{2}}{n}=c-a$为有理数，而$n$为整数，有$\frac{2}=n(c-a)$为有理数，这与$\sqrt{2}$为无理数矛盾。
  • 若$a$为无理数，则$c=a+\frac{\sqrt{2}}{n}$为无理数加无理数，仍为无理数。
• 因此，$c$为无理数。

综上所述，我们找到了一个无理数$c$满足$a<c<b$。

方法二：利用有理数和无理数的稠密性

首先，因为有理数在实数中是稠密的，存在有理数$q$满足$a<q<b$。

现在考虑区间$(q,b)$，我们需要在$(q,b)$中找到一个无理数。

• 可以选取$c=q+\frac{b-q}{\sqrt{2}}$。
• 因为$\frac{b-q}{\sqrt{2}}<b-q$，所以$c<b$。
• $c>q$，因此$a<q<c<b$。
• $c$是无理数，因为$q$是有理数，$\frac{b-q}{\sqrt{2}}$是无理数（有理数除以无理数是无理数），有理数加无理数是无理数。

因此，我们找到了一个无理数$c$满足$a<c<b$。

证明2：存在无限多个无理数$c$满足$a<c<b$。

方法一：利用证明1的结论逐个去找

根据证明1，一旦我们找到一个无理数$c_1$满足$a<c_1<b$，我们可以重复这个过程：

• 在$(a,c_1)$中找到一个无理数$c_2$。
• 在$(a,c_2)$中找到一个无理数$c_3$。
• 一次类推，可以构造无限多个无理数$c_n$满足$a<\cdots<c_3<c_2<c_1<b$

方法二：构造点列

为了构造无限多个这样的无理数，对于每个正整数$n$，令：

对于充分大的$n$，所有的$c_n$都满足$a<c<b$，且$c_n$是无理数，因为$n$可以无限增大，所以存在无限多个这样的$c_n$。

因此，证明了问题陈述内容的结论，如下。

结论

特别地，任意两个实数之间存在无限多个无理数。

如果$a$和$b$是实数且$a<b$，证明存在至少一个无理数$c$满足$a<c<b$，从而存在无限多个这样的无理数。