ACM入门之【三分】

介绍

三分算法是什么？

三分算法（Ternary Search）是用于在某一个 单峰区间上 寻找最值（最大值或最小值）的一种算法。

• 单峰函数 是指在某一段区间上，函数值先单调上升（或下降），再单调下降（或上升）。
• 适用于连续值（浮点型）或整数值。

特别要注意并不是每个单峰函数都是可以三分的！

某些问题的函数可能是单峰的，但峰值两边并非是严格递增（递减）的，即有可能出现“平台”（一条与 x 轴平行的直线）。

二分算法和三分算法的区别？

特点	二分算法	三分算法
应用场景	查找某个“确定的值”	查找一个最值（极值）
单调性要求	函数是单调的（增或减）	函数是单峰的
中点数	取一个中点	取两个中点 mid1 和 mid2
目标	找一个值/判定某个条件	找函数值的最大或最小值

三分算法的基本原理

假设你在一条山路上徒步，你想找到最高点（或最低点），这时候你知道地形是单峰的：

• 1. 你在区间 [l, r] 中，选取两个点：mid1 = l + (r - l) / 3,mid2 = r - (r - l) / 3。
• 2. 计算这两个点的函数值：f(mid1) 和 f(mid2)
• 3. 比较两者：
  • 如果 f(mid1) < f(mid2)，说明峰值在 mid1 到 r 之间。
  • 如果 f(mid1) >= f(mid2)，说明峰值在 l 到 mid2 之间。
  • 如果两者相等，也可以缩小区间 [mid1, mid2]。
• 4. 重复这个过程，直到区间非常小，就可以近似找到最值。

板子

单峰函数(凸)函数
double ternary_search(double l, double r) {
    while (r - l > 1e-7) {
        double mid1 = l + (r - l) / 3;
        double mid2 = r - (r - l) / 3;
        if (f(mid1) < f(mid2))
            l = mid1;
        else
            r = mid2;
    }
    return (l + r) / 2;
}

单谷(凹)函数
double ternary_search(double l, double r) {
    while (r - l > 1e-7) {
        double mid1 = l + (r - l) / 3;
        double mid2 = r - (r - l) / 3;
        if (f(mid1) > f(mid2))
            l = mid1;
        else
            r = mid2;
    }
    return (l + r) / 2;
}

习题

游游开车出游

P3382 三分