介绍
位运算是对整数在二进制层面进行操作的运算方式。计算机内部所有数据都是以二进制形式存储的，所以位运算是计算机处理数据最底层、最快速的一种方式。 在竞赛中，位运算可以大幅提高效率，常用于：
- 状态压缩（DP）
- 异或技巧
- 快速判断特定位
位运算符对照表
| 运算符 | 名称 | 示例（对二进制） | 说明 |
|---|---|---|---|
& | 与（AND） | 0101 & 0011 = 0001 | 两个都是1，结果才是1 |
| | 或（OR） | 0101 | 0011 = 0111 | 有一个是1就为1 |
^ | 异或（XOR） | 0101 ^ 0011 = 0110 | 不同为1，相同为0 |
！ | 逻辑非（Logical NOT） | !123 = 0 , !0=1 | 如果值为0，结果为 1.如果值为非0，结果为 0 |
~ | 非（NOT） | ~0101 = 1010（取反） | 所有位取反 |
<< | 左移 | 0101 << 1 = 1010 | 向左移一位，相当于乘2 |
>> | 右移 | 0101 >> 1 = 0010 | 向右移一位，相当于除2 |
| 功能 | 示例 | 式子 |
|---|---|---|
| 去掉最后一位 | 10110 → 1011 | x >>> 1 |
| 在最后添加 0 | 1011 → 10110 | x << 1 |
| 在最后添加 1 | 1011 → 10111 | (x << 1) | 1 |
| 右数第 k 位变成 1 | 100011 → 101011，k = 4 | x | (1 << (k - 1)) |
| 右数第 k 位变成 0 | 101011 → 100011，k = 4 | x & ~(1 << (k - 1)) |
| 获取右数第 k 位 | 101011 → 1，k = 4 | (x >> (k - 1)) & 1 |
| 截取最后 k 位 | 101011 → 1011，k = 4 | x & ((1 << k) - 1) |
| 把右边连续的 1 变成 0 | 101011 → 101000 | x & (x + 1) |
| 把右边第一个 0 变成 1 | 101011 → 101111 | x | (x + 1) |
| 把右边连续的 0 变成 1 | 101000 → 101111 | x | (x - 1) |
| 把右起第一个 1 变成 0 | 101000 → 100000 | x & (x - 1) |
| 取右边连续的 1 | 101111 → 1111 | (x ^ (x + 1)) >> 1 |
常用板子
判断一个数是否是2的幂次。
bool f(int x)
{
if( x & (x-1) == 0 ) return true;
return false;
}
计算一个数2进制有多少个1。
int f(int x)
{
int cnt=0;
while(x)
{
x-=x&(-x);
cnt++;
}
return cnt;
}
得到二进制最右边的1和后边0所构成的数。
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
遍历所有非空子集，并输出每个集合的所有子集
void f(int n)
{
for(int i=1;i<(1<<n);i++) // 枚举所有非空集合 i（共 2^n 个）
{
for(int j=i;j;j=(j-1)&i) // 枚举 i 的所有非空子集 j
{
cout << j << " "; // 输出子集 j（是二进制状态）
}
cout << endl;
}
}
枚举超集的代码
void f(int n)
{
for(int i=1; i<(1<<n); i++) // 枚举所有非空子集 i（从1到2^n-1）
{
for(int j=i; j; j=(j+1) | i) // 从 j=i 开始，不断生成包含 i 的更大集合 j
{
if(j == (1<<n)-1 ) break; // 如果已经到全集（所有位为1），就退出
cout << j << " "; // 输出 j 的整数表示
}
cout << endl; // 每个 i 对应一行输出
}
}
